0 初めに

こんにちは！🎄
Physics Lab.のアドカレにはネタ記事もありますが、この記事は至って普通の記事です。
(ネタ記事も面白いですが)私自身が物理で詰まった際に先人のアドカレやポスターに助けられたこともあり、私もまずは物理を議論する記事を書こうと思いました。
場の量子論でない経路積分の表式が欲しいのでしたら2章までを読むといいと思います。それ以降はだんだん場の量子論の話に(難しく)なっていきます。

Part2とpart3は以下です。

1 考え方・定義

1.1 モチベーション

正準量子化演算子法では、相互作用ハミルトニアンはラグランジアンの相互作用項の符号を変えた共変的な項に加えて、プロパゲーターに含まれる非共変項を打ち消す非共変項を含む。この非共変項を導く過程は可換ゲージ理論でさえ面倒だが、非可換ゲージ理論や一般相対論などのより複雑な理論では堪えられないほど困難になってくる。そのため、ラグランジアンから直接にS行列を与える経路積分形式が重宝される。
この記事ではボソンでの経路積分を証明する。
以下の式を軸として導いていく。

\begin{align}
&\braket{q|p} = \prod_{a} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \exp [iq_a p_a] \quad (波動関数)\\
&\braket{q';\tau +d\tau|q;\tau} = \bra{q';\tau} \exp[-iHd\tau] \ket{q;\tau} \quad (時間発展)\\
&1 = \int \prod_{a} dq_a \ket{q} \bra{q} \quad (完全性)
\end{align}

1.2 定義

1.2.1 シュレーディンガー表示の「座標」と「運動量」の演算子

$Q_a$, $P_a$:シュレーディンガー表示の「座標」と「運動量」の演算子とする。これらは正準交換関係を満たすとする。
以下のように固有値と固有状態を表す。

\begin{align*}
  Q_a \ket{q} = q_a \ket{q}\\
  P_a \ket{p} = p_a \ket{p}
\end{align*}

1.2.2 ハイゼンベルグ表示の「座標」と「運動量」の演算子

$Q_a(t)$, $P_a(t)$:ハイゼンベルグ表示の「座標」と「運動量」の演算子とする。

\begin{align*}
  Q_a(t) \equiv \exp[iHt] Q_a \exp[-iHt]\\
  P_a(t) \equiv \exp[iHt] P_a \exp[-iHt]
\end{align*}

$Q_a(t)$と$P_a(t)$の固有状態$\ket{q;t}$, $\ket{p;t}$は以下のように定義される。

    \begin{align*}
      Q_a(t) \ket{q;t} = q_a \ket{q;t}\\
      P_a(t) \ket{p;t} = p_a \ket{p;t}
    \end{align*}

これらは固有値$q_a$を持つ$Q_a(t)$の固有状態であり、$\ket{q}$を時間$t$だけ発展させたものではないことに注意して欲しい。つまり

    \begin{align*}
      \ket{q;t} = \exp[iHt] \ket{q} \neq \exp[-iHt] \ket{q} \quad (pについても同様)\\
    \end{align*}

ハミルトニアン$H$はシュレーディンガー表示の関数$H(Q,P)$として与えられているが、ハイゼンベルグ表示でも同じ関数として書ける。
\begin{align*}
H \equiv H(Q,P) = \exp[iHt] H(Q,P) \exp[-iHt] = H\left( Q(t),P(t) \right)
\end{align*}

1.2.3 内積

$p$と$q$の固有状態の内積は以下となる。

    \begin{align}
      \braket{q|p} = \prod_{a} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp[i q_a p_a] \notag\\
      \braket{q;t|p;t} = \prod_{a} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp[i q_a p_a] \tag{波動関数}
    \end{align}

$P_b$が$q$を基底とした波動関数には$-i \partial / \partial q_b$として働く。$\braket{q}{p}$はこの基底での$P$の固有状態の波動関数である。$\prod 1 / \sqrt{2 \pi}$は規格化条件より決定される。実際、以下のように計算できる
\begin{align*}
\bra{q} P_b \ket{p} = \bra{q} p_b \ket{p} &= p_b \braket{q|p}\\
\Leftrightarrow -i \frac{\partial}{\partial q_b} \prod_{a} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp[i q_a p_a] &= p_b \prod_{a} \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \exp[i q_a p_a]
\end{align*}

1.2.4 真空

in真空($t \rightarrow -\infty$)とout真空($t \rightarrow +\infty$)を以下で定義する。

    \begin{align*}
      a_{\textrm{in}}(\mathbf{p},\sigma,n) \ket{\textrm{VAC}, \textrm{in}} = 0\\
      a_{\textrm{out}}(\mathbf{p},\sigma,n) \ket{\textrm{VAC}, \textrm{out}} = 0
    \end{align*}

ここで、$a_{\textrm{in}}$と$a_{\textrm{out}}$はそれぞれ$t \rightarrow -\infty$と$t \rightarrow +\infty$での消滅演算子である。

2 経路積分

2.1 経路積分を構成する

ようやく経路積分を導く

\begin{align}
    \braket{q';\tau + d\tau|q;\tau} &= \bra{q';\tau} \exp[-iHd\tau] \ket{q;\tau} \notag\\
    &= \bra{q';\tau} \exp[-iH(q(t),p(t))d\tau] \ket{q;\tau} \notag\\
    &= \int \prod_{a} dp_a \bra{q';\tau} \exp[-iH(Q(t),P(t))d\tau] \ket{p;\tau} \braket{p;\tau|q;\tau} \quad (\because 完全性)  \notag\\
    &= \int \prod_{a} \frac{dp_a}{2\pi} \exp[-iH(Q(t),P(t))d\tau + i \sum_{a}(q_a' - q_a) p_a] \quad (\because 波動関数) \tag{時間発展}
  \end{align}

$t$から$t'$までを$t,\tau_1,\tau_2,\cdots,\tau_N,t'$という段階に分ける。

  \begin{align*}
    \tau_{k+1} - \tau_k = d\tau = (t' - t)/(N+1)
  \end{align*}

すると

  \begin{align*}
    \braket{q';t'|q;t} &= \int dq_1 \cdots dq_N \braket{q';t'|q_N;t_N} \braket{q_{N};t_N|q_{N-1};t_{N-1}} \cdots \braket{q_1;t_1|q;t} \quad(\because 完全性)\\
    &= \int \left[\prod_{k=1}^{N} \prod_a dq_{k,a}\right] \left[\prod_{k=1}^{N} \prod_a dp_{k,a}/2\pi\right]\\
    & \quad \quad \quad \exp\left[i\sum_{k=1}^{N+1}\left\{\sum_a (q_{k,a} - q_{k-1,a}) p_a - H(q_k,q_{k-1})d\tau\right\}\right] (\because 時間発展)
  \end{align*}

ここで、$q_0 \equiv q$, $q_{N+1} \equiv q'$とした。
滑らかな関数$q_a(\tau_k)=q_{k.a}$, $p_a(\tau_k)=p_{k.a}$を満たすようにとると、指数関数の肩は

  \begin{align*}
    &i\sum_{k=1}^{N+1}\left\{\sum_a (q_{k,a} - q_{k-1,a}) p_a - H(q_k,q_{k-1})\right\}d\tau\\
    \Rightarrow& i\sum_{k=1}^{N+1}\left\{\sum_a \dot{q_a}(\tau_k)p_a(\tau_k) - H(q(\tau_k),p(\tau_k))\right\}d\tau\\
    \Rightarrow& i\int_{t}^{t'}\left\{\sum_a \dot{q_a}(\tau_k)p_a(\tau_k) - H(q(\tau_k),p(\tau_k))\right\}d\tau
  \end{align*}

さらに$q(\tau)$と$p(\tau)$についての汎関数積分を

  \begin{align*}
    \int \prod_{\tau,a}dq_a(\tau) \prod_{\tau,a}\frac{dp_a(\tau)}{2\pi} \cdots \equiv \lim_{d\tau \rightarrow 0} \prod_{k,a}dq_{k,a}\prod_{k,a}\frac{dp_{k,a}}{2\pi}
  \end{align*}

すると

  \begin{align*}
    \braket{q';t'|q;t} = \int_{\substack{q_a(t) = q_a \\ q_a(t') = q_a'}}  &\prod_{\tau,a}dq_a(\tau) \prod_{\tau,a}\frac{dp_a(\tau)}{2\pi}\\
&\exp\left[ i\int_{t}^{t'}d\tau\left\{\sum_a \dot{q_a}(\tau_k)p_a(\tau_k) - H(q(\tau_k),p(\tau_k))\right\} \right]
  \end{align*}

この最後の表式を経路積分という。

2.2 経路積分

$\tau = t$に「位置」が$q$にいる状態から$\tau = t'$に$q'$にいる状態への遷移確率振幅は、$\tau = t$での$q$から$\tau = t'$での$q'$までの$q(\tau)$のすべての経路と$p(\tau)$全てについての積分である(と解釈できる)。
式で表すと以下である。

\begin{align*}
      \braket{q';t'|q;t} = \int_{\substack{q_a(t) = q_a \\ q_a(t') = q_a'}}  &\prod_{\tau,a}dq_a(\tau) \prod_{\tau,a}\frac{dp_a(\tau)}{2\pi}\\
      &\exp\left[ i\int_{t}^{t'}d\tau\left\{\sum_a \dot{q_a}(\tau_k)p_a(\tau_k) - H(q(\tau_k),p(\tau_k))\right\} \right]
    \end{align*}

3 演算子

3.1 演算子を考える

経路積分では上のような遷移確率振幅のみならず、一般の演算子$\mathcal{O}(P(t),Q(t))$の$\bra{q';t'}$と$\ket{q;t}$での行列要素$\bra{q';t'} \mathcal{O}(P(t),Q(t)) \ket{q;t}$も計算できる。そのとき経路積分の表式を導く過程で演算子の並べ方に注意しなければならない。
$\bra{q';t'} \mathcal{O}(P(t),Q(t)) \ket{q;t}$を計算するとき、演算子は次の並べ方で並べる。
①:時刻が遅いものを左に、早いものを右に動かす。これを時間順序積という。
②:各時刻の中で、全ての$P$を左に、すべての$Q$を右に動かす。これを$\mathcal{O}[P(t),Q(t)]$と書く。

(①の導出)
$t'>t_A>t_B>t$とする。
以下は

\begin{align*}
\mathcal{O} = T\{\mathcal{O}_A(P(t_A),Q(t_A)), \mathcal{O}_B(P(t_B),Q(t_B))\} = \mathcal{O}_A(P(t_A),Q(t_A))\times{\mathcal{O}_B(P(t_B),Q(t_B))}
\end{align*}

のときのみ成り立つ。

\begin{align*}
\bra{q';t'} &\mathcal{O}(P(t),Q(t)) \ket{q;t}\\
=& \int dq_1 \cdots dq_N \braket{q';t'|q_N;t_N} \\
&\cdots \times \bra{q_{A+1};t_{A+1}} \mathcal{O}_A(P(t_A),Q(t_A)) \ket{q_A;t_A} \bra{q_{B+1};t_{B+1}} \mathcal{O}_B(P(t_B),Q(t_B)) \ket{q_B;t_B} \\
&\cdots \times \braket{q_1;t_1|q;t}
\end{align*}

(②の導出)
各時刻に対して時間発展を用いるが、
\begin{align*}
\bra{q';t'} &\mathcal{O}(P(t),Q(t)) \ket{q;t}\\
=& \int \prod_{a} dp_a \bra{q';\tau} \exp[-iH(Q(t),P(t))d\tau] \ket{p;\tau} \bra{p;\tau} \mathcal{O}(P(t),Q(t)) \ket{q;\tau}
\end{align*}
なので、各時刻の中で、全ての$P$を左に、すべての$Q$を右に動かした方が計算が楽である。
よって結論は以下となる。

3.2 経路積分での演算子の行列要素

一般の演算子$\mathcal{O}(P(t),Q(t))$の$\bra{q';t'}$と$\ket{q;t}$での行列要素$\bra{q';t'} \mathcal{O}(P(t),Q(t)) \ket{q;t}$は経路積分形式で次のように計算できる。

    \begin{align*}
      \bra{q';t'} &T \{\mathcal{O}_A[P(t_A),Q(t_A)], \mathcal{O}_B[P(t_B),Q(t_B)],\cdots \} \ket{q;t} \\
      &= \int_{\substack{q_a(t) = q_a \\ q_a(t') = q_a'}} \prod_{\tau,a}dq_a(\tau) \prod_{\tau,a}\frac{dp_a(\tau)}{2\pi} \mathcal{O}_A(P(t_A),Q(t_A))\mathcal{O}_B(P(t_B),Q(t_B))\cdots \\
      &\quad \times \exp\left[ i\int_{t}^{t'}d\tau\left\{\sum_a \dot{q_a}(\tau_k)p_a(\tau_k) - H(q(\tau_k),p(\tau_k))\right\} \right]
    \end{align*}

これは左辺のみ演算子の順序に気を付けなければならない。右辺の順序には何も指定がない。($\because$ 時間発展を用いるときの演算子の順序の指定は消える)

4 LSZ簡約公式を使ってS行列を考える

4.1 カーネルと定数（難しいかも)

カーネル$\mathcal{E}$と定数$\mathcal{N}$を以下で与える。
中性のスピンゼロ粒子の実スカラー場の場合を考える。$\mathrm{\Phi}$と$\mathrm{\Pi}$は生成,消滅演算子で展開できるので

    \begin{align*}
      \mathrm{\Phi}(\mathbf{x},t) \xrightarrow{t \rightarrow \mp \infty} & (2\pi)^{-3/2} \int d^3p (2E)^{-1/2} \left[ a_{\substack{\textrm{in} \\ \textrm{out}}} (\mathbf{p}) e^{ip \cdot x} + (共役項)\right]\\
      \mathrm{\Pi}(\mathbf{x},t) \xrightarrow{t \rightarrow \mp \infty} & \dot{\mathrm{\Phi}}(\mathbf{x},t)\\
      =& -i(2\pi)^{-3/2} \int d^3p (E/2)^{1/2} \left[ a_{\substack{\textrm{in} \\ \textrm{out}}} (\mathbf{p}) e^{ip \cdot x} + (共役項)\right]
    \end{align*}

フーリエ逆変換をして

    \begin{align*}
      a_{\substack{\textrm{in} \\ \textrm{out}}} = \lim_{t \rightarrow \mp \infty} \frac{e^{iEt}}{(2\pi)^{3/2}} \int d^3x e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} \left[ \sqrt{\frac{E}{2}}\mathrm{\Phi}(\mathbf{x},t) i\sqrt{\frac{1}{2E}}\mathrm{\Pi}(\mathbf{x},t) \right]
    \end{align*}

真空の式に消滅演算子の上の式を代入し、左から$\bra{\phi(\mathbf{x}), \mp \infty}$をかける。前節で述べたように、「運動量」$\Pi$は$\phi$を基底にした波動関数に対しては汎関数微分$-i\delta / \delta\phi$として働くので

    \begin{align*}
      \int d^3x e^{i \mathbf{p} \cdot \mathbf{x}} \left[ \frac{\delta}{\delta \phi(\mathbf{x})} + E(\mathbf{p}) \phi(\mathbf{x}) \right] \braket{\phi(\mathbf{x}), \mp \infty|\textrm{VAC},\substack{\mathrm{in} \\ \mathrm{out}}} = 0
    \end{align*}

解がガウス型であるとしてみる。カーネル$\mathcal{E}$と定数$\mathcal{N}$を用いて

    \begin{align*}
      \braket{\phi(\mathbf{x}), \mp \infty|\textrm{VAC},\substack{\textrm{in} \\ \textrm{out}}} = \mathcal{N} \exp\left[ -\frac{1}{2} \int d^3x d^3y \mathcal{E}(\mathbf{x}, \mathbf{y}) \phi(\mathbf{x}) \phi(\mathbf{y})\right]
    \end{align*}

4.2 LSZ簡約公式

LSZ簡約公式は以下である。

    \begin{align*}
      S_{\beta \alpha} =& \left( \frac{i}{\sqrt{Z}} \right)^{m+n} \left[ \prod_{f=1}^{m} \int d^4y_f f_{\mathbf{k}_f}^* (\Box_{y_f} + m^2)\right]\\
      &\times \left[ \prod_{i=1}^{n} \int d^4x_i f_{\mathbf{p}_i} (x_i)  (\Box_{x_i} + m^2) \right]\\
      &\times \bra{0} \mathrm{T} \left\{ \phi(y_1) \cdots \phi(y_m) \phi(x_1) \cdots \phi(x_n) \right\} \ket{0}
    \end{align*}

ただし、$f_{\mathbf{p}} (x)$は以下で定義される。

    \begin{align*}
      f_{\mathbf{p}} (x) \equiv \frac{e^{-ip \cdot x}}{\sqrt{(2\pi)^3 2E(\mathbf{p})}}
    \end{align*}

4.3 一般的なスピンをもつ場についての時間順序積の真空期待値

一般的なスピンをもつ場についての時間順序積の真空期待値は以下である。

    \begin{align}
      \bra{\mathrm{VAC}, \mathrm{out}} &T \{\mathcal{O}_A[P(t_A),Q(t_A)], \mathcal{O}_B[P(t_B),Q(t_B)],\cdots \} \ket{\mathrm{VAC}, \mathrm{in}} \notag \\
      &= |\mathcal{N}|^2 \int \prod_{\tau,\mathbf{x},m}dq_m(\tau) \prod_{\tau,\mathbf{x},m}\frac{dp_m(\tau)}{2\pi} \mathcal{O}_A(P(t_A),Q(t_A))\mathcal{O}_B(P(t_B),Q(t_B))\cdots \notag \\
      &\quad \times \exp\left[ i\int_{-\infty}^{+\infty}d\tau\left\{\sum_m \dot{q_m}(\mathbf{x},\tau)p_m(\mathbf{x},\tau) - H(q(\tau),p(\tau)) + i\epsilon 項\right\} \right]
    \end{align}

ここで「$i\epsilon$項」はすべてのプロパゲーターの分母に正しい$-i\epsilon$を与える寄与を意味する。
この後、時間順序積の真空期待値は$\braket{\mathrm{VAC}, \mathrm{out}|\mathrm{VAC}, \mathrm{in}}$で割るので$|\mathcal{N}|^2$はどうでもいい。

5 ラグランジアン形式

5.1 停留点

$H$は$P$について二次形式なので

\begin{align*}
(一般的なスピンをもつ場&についての時間順序積の真空期待値の指数関数の引数)\\
= & \int d\tau\left\{\sum_n \dot{q_n}(\mathbf{x},\tau)p_n(\mathbf{x},\tau) - H(q(\tau),p(\tau)) \right\}\\
=& -\frac{1}{2} \sum_{n,m} \int d^3x d^3y d\tau d\tau' \mathcal{A}_{\tau\mathbf{x}n, \tau'\mathbf{y}m}[q]p_n(\mathbf{x},\tau)p_m(\mathbf{y},\tau)\\
& -\sum_{n} \int d^3xd\tau \mathcal{B}_{\tau\mathbf{x}n}[q]p_n(\mathbf{x},\tau)\\
& - \mathcal{C}[q]
\end{align*}

さて、上のような二次形式の指数関数の積分はその引数の停留点での指数関数に比例している。
つまり、一般に実変数を$\xi_s(=p_n)$として、

\begin{align}
&\int_{-\infty}^{+\infty} \left( \prod_s d\xi_s \right) \exp \left[ -\frac{1}{2} i \sum_{s,r} \mathcal{A}_{s,r} \xi_s \xi_r - i \sum_s \mathcal{B}_s\xi_s -i\mathcal{C}\right]\tag{5.1.1}\\
&=(\mathrm{Det}[i\mathcal{A}/2\pi])^{-1/2} \exp\left[ -\frac{1}{2} i \sum_{s,r} \mathcal{A}_{s,r} \bar{\xi}_s \bar{\xi}_r - i \sum_s \mathcal{B}_s\bar{\xi}_s -i\mathcal{C}\right] \tag{5.1.2}
\end{align}

ここで$\bar{\xi}$は停留点である。つまり(5.1.1)の指数関数の肩を$\xi$で微分したときに$0$となるような$\xi$である。
よって(5.1.1)の指数関数の肩の具体的な形を$p$で汎関数微分すると

\begin{align*}
&\frac{\delta}{\delta p_n(\mathbf{x},\tau)} \int_{-\infty}^{+\infty}d\tau\left\{\sum_m \dot{q_m}(\mathbf{x},\tau)p_m(\mathbf{x},\tau) - H(q(\tau),p(\tau)) + i\epsilon 項\right\}\\
&= \dot{q_n}(\mathbf{x},\tau) - \frac{\delta}{\delta p_n(\mathbf{x},\tau)} H(q(\tau),p(\tau)) \quad (\mathcal{O}がpを含まないと仮定する)
\end{align*}

停留点$\bar{p}$では上の式は0となる。つまり

\begin{align*}
\dot{q_n}(\mathbf{x},\tau) = \left. \frac{\delta H(q(\tau),p(\tau))}{\delta p_n(\mathbf{x},\tau)} \right|_{p=\bar{p}}
\end{align*}

これはちょうどルジャンドル変換をするときの$\dot{q}$の表式である。

5.2 ラグランジアン

\begin{align}
\bra{\mathrm{VAC}, \mathrm{out}} &T \{\mathcal{O}_A[P(t_A),Q(t_A)], \mathcal{O}_B[P(t_B),Q(t_B)],\cdots \} \ket{\mathrm{VAC}, \mathrm{in}} \notag \\
&= |\mathcal{N}|^2 \int \prod_{\tau,\mathbf{x},m}dq_m(\tau) \prod_{\tau,\mathbf{x},m}\frac{dp_m(\tau)}{2\pi} \mathcal{O}_A(P(t_A),Q(t_A))\mathcal{O}_B(P(t_B),Q(t_B))\cdots \notag \\
&\quad \times \exp\left[ i\int_{-\infty}^{+\infty}d\tau\left\{\sum_m \dot{q_m}(\mathbf{x},\tau)p_m(\mathbf{x},\tau) - H(q(\tau),p(\tau)) + i\epsilon 項\right\} \right]\\
&\quad \quad \quad \quad \quad(\because 一般的なスピンをもつ場についての時間順序積の真空期待値) \notag \\
&= |\mathcal{N}|^2 \int \prod_{\tau,\mathbf{x},m}dq_m(\tau) (\mathrm{Det}[i\mathcal{A}/2\pi])^{-1/2}\mathcal{O}_A(P(t_A),Q(t_A))\mathcal{O}_B(P(t_B),Q(t_B))\cdots \notag \\
&\quad \times \exp\left[ i\int_{-\infty}^{+\infty}d\tau\left\{\sum_m \dot{q_m}(\mathbf{x},\tau)\bar{p}_m(\mathbf{x},\tau) - H(q(\tau),\bar{p}(\tau)) + i\epsilon 項 \right\} \right]\quad(\because (5.1.2)) \notag\\
&= |\mathcal{N}|^2 \int \prod_{\tau,\mathbf{x},m}dq_m(\tau) (\mathrm{Det}[i\mathcal{A}/2\pi])^{-1/2}\mathcal{O}_A(P(t_A),Q(t_A))\mathcal{O}_B(P(t_B),Q(t_B))\cdots \notag \\
&\quad \times \exp\left[ i\int_{-\infty}^{+\infty}d\tau\left\{L[q(\tau),\dot{q}(\tau)] + i\epsilon 項 \right\} \right] \notag
\end{align}

ただし、ラグランジアンは以下で定義する。
ラグランジアン$L[q(\tau),\dot{q}(\tau)]$は$p=\bar{p}$でのルジャンドル変換で定義される。

    \begin{align*}
      L[q(\tau),\dot{q}(\tau)] \equiv \sum_m \dot{q_m}(\mathbf{x},\tau)\bar{p}_m(\mathbf{x},\tau) - H(q(\tau),\bar{p}(\tau))
    \end{align*}

もちろんここで定義したラグランジアンは古典ラグランジアンと異なる場合もある。

5.3 ラグランジアンの対称性

次に$(\mathrm{Det}\mathcal{A})^{-1/2}$を考える。
$\mathcal{A}[q]$が場に依存しないなら基本的に何も考えなくてよい。
$\mathcal{A}[q]$が場に依存する場合を考える。非線形シグマ模型だと、

\begin{align*}
\mathcal{L} = -\frac{1}{2} \sum_{n,m} \partial_{\lambda} \Phi_n \partial^{\lambda} \Phi_m [\delta_{nm} + U_{nm}(\Phi)] - V(\Phi)\\
H = \int d^3x \left[ \frac{1}{2} \Pi_n (1 + U(\Phi))_{nm}^{-1} \Pi_m + \frac{1}{2} \nabla \Phi_n \cdot \nabla \Phi_m (1 + U(\Phi))_{nm} + V(\Phi) \right]
\end{align*}

よって

\begin{align*}
\mathcal{A}_{nx,my} = (1 + U(\Phi))_{nm}^{-1} \delta^4(x-y)
\end{align*}

$\mathrm{Det}\mathcal{A} = \exp \mathrm{Tr} \ln \mathcal{A}$であり、微小体積$\Omega$を用いて

\begin{align*}
(\ln \mathcal{A})_{nx,my} = \delta_{x,y} [\ln (1 + U(\Phi)) - 1\cdot \ln \Omega]_{nm}
\end{align*}

$- 1\cdot \ln \Omega$は定数なので比例係数となり、無視できる。
$\sum_x \cdots = \Omega^{-1} \int d^4x \cdots$を用いて

\begin{align*}
\mathrm{Det}\mathcal{A} \propto \exp \left[ - \Omega^{-1} \mathrm{Tr} \ln [1 + U(\Phi)] \right]
\end{align*}

よって、この行列式は有効ラグランジアン密度に以下の補正を加えるものだと理解できる

\begin{align*}
\Delta \mathcal{L} = - \frac{1}{2} i \Omega^{-1} [1 + U(\Phi)]
\end{align*}

因子$\Omega^{-1}$は紫外発散する積分

\begin{align*}
\Omega^{-1} = \delta^4(x-y) = (2\pi)^{-4} \int d^4p \cdot 1
\end{align*}

$\Delta \mathcal{L}$の補正を無視すると、スカラーの変換の下でラグランジアンの対称性と矛盾する。
$(\mathrm{Det}\mathcal{A})^{-1/2}$が場に依存しないときでも、ラグランジアンのローレンツ対称性の自明性を復活させるために、ラグランジアンに補助場を導入する必要があるときがある。
なので正準共役量を消去し、正準場$q_n$と補助場$c_r$を含む場$\psi_l$を使って以下のように表しておく

5.4 場の経路積分

\begin{align}
      \bra{\mathrm{VAC}, \mathrm{out}} T \{\mathcal{O}_A[P(t_A),Q(t_A)],& \mathcal{O}_B[P(t_B),Q(t_B)],\cdots \} \ket{\mathrm{VAC}, \mathrm{in}} \notag \\
    &\propto \int \prod_{\tau,\mathbf{x},n}d\psi_n(\tau) \mathcal{O}_A[\psi(t_A)]\mathcal{O}_B[\psi(t_B)]\cdots \notag \\
    &\times \exp\left[ i\int_{-\infty}^{+\infty}d\tau\left\{L[\psi(\tau),\dot{\psi}(\tau)] + i\epsilon 項 \right\} \right]
    \end{align}

ここで$L$は場に依存する$(\mathrm{Det}\mathcal{A})^{-1/2}$の寄与も必要に応じて含んだものとする。

参考文献

ワインバーグ, S. (著), 青山秀明 & 有末宏明 (訳). (1997). 場の量子論第2巻量子場の理論形式. 吉岡書店.

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