本記事は数学講座2.17関数の不連続点を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。
定義：
関数$f(x)$が$\mathring{U}(x_0)$に定義あり、もし函数$f(x)$が以下の三つのケースの一つであれば：
- $x=x_0$で定義なし
- $x=x_0$定義あり、$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$が存在しない
- $x=x_0$定義あり、$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)$も存在、但し$\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)\ne f(x_0)$
関数$f(x)$が$x_0$で連続しない （Discontinuous）、$x_0$が関数の不連続点です。
定義：
$x_0$が関数$f(x)$の不連続点：
- 左極限$\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)$及び右極限$\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)$とも存在すれば、$x_0$が関数$f(x)$の第一種不連続点（Discontinuity of the first kind）；
- その以外は全て第２種不連続点 （Discontinuity of the second kind）。
練習
以下の関数の連続性などを分析する：
参照：