0
0

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?

More than 1 year has passed since last update.

データサイエンスのための微分積分 第8回 無限大

Posted at

本記事は数学講座2.7無限大を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。

無限大の三つの定義

\begin{array}{c|c|c|c}
    \hline
    \quad x\to x_0\ \text{関数極限} \quad\quad&\quad x\to x_0\ \text{正の無限大}\quad &\quad x\to x_0\ \text{負の無限大}\quad &\quad x\to x_0\ \text{無限大}\quad \\
    \hline 
    \\
    \forall\epsilon > 0 &\forall M > 0&\forall M > 0&\forall M > 0\\
    |f(x) - L| < \epsilon &f(x) > M&f(x) < -M&|f(x)| > M\\
    \\
    \hline
\end{array}

無限大

正の無限大と負の無限大の定義は、無限大のと似ていますので、省略します。

無限大の定義:

定義: 関数$f(x)$が$\mathring{U}(x_0)$上で定義されているとする。任意の$M > 0$に対して、$\delta > 0$が存在し、$\forall x\in\mathring{U}(x_0,\delta)$に対して以下が成り立つ場合、関数$f(x)はx\to x_0$のときに**「無限大 (Infinity)」**と呼ばれる。

|f(x)| > M

記号としては、以下のように表される:

\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty

ここで、$\mathring{U}(x_0)$は$x_0$を中心とする開区間、$\mathring{U}(x_0,\delta)$は半径$\delta$の開球を表します。

image.png

極限が存在しない

$x\to x_0$のときの無限大は$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty$と表されますが、これは任意の定数に収束しないため、$x\to x_0$の極限は存在しません。

したがって、$\lim_{x\to x_0}f(x)=\infty $ $➡$ $f(x)$は$x\to x_0$のときの極限が存在しないことを意味します。

無限大と無限小

定理: 自変数の同一の変化プロセスにおいて、以下の場合:

  • $f(x)$が無限小であり、対応する局所領域で$f(x)\ne 0$である場合、$\displaystyle\frac{1}{f(x)}$は無限大である。この結論は$\displaystyle\frac{1}{0}=\inftyと$も表される。
  • $f(x)$が無限大である場合、$\displaystyle\frac{1}{f(x)}$は無限小である。この結論は$\displaystyle\frac{1}{\infty}=0$とも表される。

例えば、
image.png

練習:

  • 例1:二つ無限大の和が必ず無限大ですか?

$f(x)=x,g(x)=-x$とおくと、$x\to \infty$のとき、$f(x)とg(x)$はいずれも無限大ですが、

$\displaystyle \lim_{x \to \infty}f(x)+g(x)=0$

このとき、$f(x)+g(x)$は無限大ではありません。

0
0
0

Register as a new user and use Qiita more conveniently

  1. You get articles that match your needs
  2. You can efficiently read back useful information
  3. You can use dark theme
What you can do with signing up
0
0

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?