データサイエンスのための線形代数 第22回 行列関数の全単射

本記事は数学講座5.6 行列関数の全単射を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。

全単射

全単射は単射且つ全射ですので、二つの必要十分条件を合わせる必要があります。

\begin{array}{c|c|c|c}
    \hline
    \quad行列関数\quad&\quad 単射の必要十分条件 \quad&\quad 全射の必要十分条件 \quad&\quad 全単射の必要十分条件 \quad\\\hline\\
    \quad \begin{aligned}A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\ \ \\\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}\end{aligned} \quad&\quad \begin{aligned}列フルランク\\行フルランク\end{aligned} \quad&\quad \begin{aligned}行フルランク\\列フルランク\end{aligned} \quad&\quad フルランク\quad\\
    \\
    \hline
\end{array}

補足：

1. 単射：定義域＝値域、唯一な解あるか
2. 全射：到達域＝値域、解存在か(指定の値が値域にあるのか)
3. 全単射：定義域＝値域＝到達域、解ある且つ唯一な解
4. フルランク：列フルランク且つ行フルランク、また、列ランク＝行ランクですので、$\ →　$　正方形行列

フルランクについてこちらを参照！

全単射の例題

以下の線型方程式系では、解の状況は？

\begin{cases}
    x_1+3x_2=5\\
    x_1+6x_2=9
\end{cases}

以下のように列ベクトル行列関数に変換して：

\underbrace{\begin{pmatrix}1&3\\1&6\end{pmatrix}}_{\Large A}\ \underbrace{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}}_{\Large\boldsymbol{x}}=\underbrace{\begin{pmatrix}5\\9\end{pmatrix}}_{\Large\boldsymbol{b}}

$A$が行フルランク且つ列フルランク、即ちフルランクですので、全単射です。だから、解があり、唯一な解です。

応用：

• $A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$、必ず解がある、且つ唯一な解

A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}

$A$がフルランクですので、全単射です。

• 以下の説明が正しいのは：
  • 正しい：$\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}$が全射
  • 誤り：$A$の列ベクタル空間が$R^2$
  • 誤り：$Ax=y$が$\mathbb{R^3}\to\mathbb{R^2}$の関数です。

A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\1&1\end{pmatrix}

1. $A$が列フルランクです。$\boldsymbol{x}^\mathrm{T}A=\boldsymbol{y}^\mathrm{T}$の全射必要十分条件が列フルランクですので、これが全射です。
2. $A$が$R^3$での平面です。
3. $Ax=y$の四つ要素が以下の通りですので、該当行列関数の線形関数式が：$\mathcal{L}:\mathbb{R^2}\to \mathbb{R^3}$です。

\begin{array}{c|c|c|c}
    \hline
    \quad自然な定義域\quad&\quad マッピング規則 \quad&\quad 値域 \quad&\quad 到達域 \quad\\\hline\\
    \quad \mathbb{R}^2 \quad&\quad A \quad&\quad A\boldsymbol{x} \quad&\quad \mathbb{R}^3 \quad\\
    \\
    \hline
\end{array}

参考情報