0
0

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?

More than 1 year has passed since last update.

データサイエンスのための線形代数 第21回 行列関数の全射

Last updated at Posted at 2023-04-30

本記事は数学講座5.5 行列関数の全射を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。

:sunny:[まとめ]全射

全射は、到達域と値域の関係です。(単射は定義域と地域の関係です)

自然な定義域で:

\begin{array}{c|c|c|c}
    \hline
    \quad行列関数\quad&\quad 全射の必要十分条件 \quad\\\hline\\
    \quad \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} \quad&\quad 行フルランク \iff 全射 \quad\\
    \quad \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{y}^\mathrm{T} \quad&\quad 列フルランク \iff 全射\quad\\
    \\
    \hline
\end{array}

列ベクトル行列関数の全射

image.png

よって、$rank(colsp(A))=m$、また任意の行列には、列ランク=行ランクがあるので、


\left.\begin{aligned}rank\Big(colsp(\boldsymbol{A})\Big)=m\\列ランク=行ランク\end{aligned}\right\}
\implies rank\Big(rowsp(\boldsymbol{A})\Big)=m

$A$が$m\times n$の行列、なので:

rank\Big(rowsp(\boldsymbol{A})\Big)=m\iff \boldsymbol{A}\ 行フルランク\iff \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}\ が全射

任意の行列には、列ランク=行ランクの証明はこちらです。

  • 例:全射

image.png

ちなみに、上記は単射ではない(定義域ランク > 値域ランク)です。

  • 例:全射ではない

image.png

ちなみに、上記は単射(定義域ランク = 値域ランク)です。

行ベクトル行列関数の全射

列ベクトル行列関数とほぼ同じですので、省略します。

全射の例題

以下の線型方程式系には、解があるか?

\begin{cases}
    2x_1+3x_2=5\\
    3x_1+6x_2=9
\end{cases}

解があるかどうか、$b$が値域にあるか、全射で判断することができます。

\begin{cases}
    2x_1+3x_2=5\\
    3x_1+6x_2=9
\end{cases}\implies\underbrace{\begin{pmatrix}2&3\\3&6\end{pmatrix}}_{\Large A}\ \underbrace{\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}}_{\Large\boldsymbol{x}}=\underbrace{\begin{pmatrix}5\\9\end{pmatrix}}_{\Large\boldsymbol{b}}

以上のように、(2,3)と(3,6)が線型独立ですので、行フルランクになります。だからこれが全射です。到達域が$R^2$ですので、値域も同じく$R^2$です。$b$が$R^2$にあるので、解があります。

参考情報

0
0
0

Register as a new user and use Qiita more conveniently

  1. You get articles that match your needs
  2. You can efficiently read back useful information
  3. You can use dark theme
What you can do with signing up
0
0

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?