本記事は数学講座6.4 ランク・ヌル性定理を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。
消えたランク
行列関数$Ax=y$に対して、インプットが自然定義域の時に、値域のランクが定義域と等しいか、それ以下かです。
例えいば、
\begin{array}{c|c|c} \hline \quad \text{自然定義域}\quad&\quad \text{ランク}\quad&\quad \text{値域ランク数}\quad \\ \hline \quad \mathbb{R}^2\quad&\quad\begin{aligned}rank(\boldsymbol{A})=2\\rank(\boldsymbol{A})=1\\ rank(\boldsymbol{A})=0\end{aligned}\quad&\quad\begin{aligned}\text{2 次元}\\\text{1 次元}\\\text{0 次元}\end{aligned}\quad\\ \hline \end{array}
今回の記事では、なぜランクが消えたのかを説明します。
消えたランク
\underbrace{rank(定義域)}_{\large 定義域のランク}-\underbrace{rank\Big(null(\boldsymbol{A})\Big)}_{\large ゼロ空間のランク}=\underbrace{rank(\boldsymbol{A})}_{\large 値域のランク}
すなわち、消えたランクがゼロ空間のランクと等しいです。
２次元の例
行列の
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}
行列関数$Ax=y$に対して、
\begin{array}{c|c|c|c}
\hline
\quad 自然定義域\quad&\quad マッピングルール \quad&\quad 値域ランク \quad&\quad 到達域 \quad\\\hline\\
\quad \mathbb{R}^2 \quad&\quad \boldsymbol{A} \quad&\quad rank(\boldsymbol{A})=1 \quad&\quad \mathbb{R}^2 \quad\\
\\
\hline
\end{array}
$A$の値域が列空間の$colsp(A)$、こちらが$rank(A)=1$です。
3次元の例
行列の
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&1&1\\2&2&2\\3&3&3\end{pmatrix}
行列関数$Ax=y$に対して、
\begin{array}{c|c|c|c}
\hline
\quad自然定義域\quad&\quad マッピングルール \quad&\quad 値域ランク \quad&\quad 到達域 \quad\\\hline\\
\quad \mathbb{R}^3 \quad&\quad \boldsymbol{A} \quad&\quad rank(\boldsymbol{A})=1 \quad&\quad \mathbb{R}^3 \quad\\
\\
\hline
\end{array}
ランク・ヌル性定理
$m×n$行列 $A$ に対して、以下が成り立ちます：
rank(\boldsymbol{A})+rank(null(\boldsymbol{A}))=n
この定理は、行列のランクとゼロ空間のランクの和が定数$n$になることを示しており、そのためこの定理は ランク・ヌル性定理 と呼ばれています。
こちれの$n=rank(定義域)$なので、該当定理が以下のと等しいです。
\underbrace{rank(定義域)}_{\large 定義域のランク}-\underbrace{rank\Big(null(\boldsymbol{A})\Big)}_{\large ゼロ空間のランク}=\underbrace{rank(\boldsymbol{A})}_{\large 値域のランク}
練習
マッピング前のランク数 = マッピング後のランク数 ＋ ゼロ空間になったランク数