0
0

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?

More than 1 year has passed since last update.

データサイエンスのための微分積分 第5回 無限大になる関数の極限

Last updated at Posted at 2023-05-17

本記事は数学講座2.4無限に近づく関数の極限を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。

離散から連続へ

関数は数学の中で最も研究されている対象ですので、このレッスンでは、数列の極限を無限に近づく関数の極限にします。
image.png

無限大になる関数の極限

元々数列に関する定義では、正数の$N$なので、関数の極限定義になると、定義も変更が必要です。

定義:
$|x|$ が某正数より大きいときに、関数 $f(x)$があります。
もし、$\forall \epsilon > 0$ 、$\exists X > 0 $、$\forall |x| > X $に対して以下が成り立つ場合:

$|f(x)-L| < \epsilon,\quad L\in\mathbb{R}$

そのとき、$L $を関数 $f(x) の x $が無限大に向かうときの 極限 と呼びます。また、$x$ が無限大に向かうとき関数$ f(x) が L $に 収束 するとも言い、以下のように表します:

$\lim_{x\to\infty}f(x)=L\quad\text{または}\quad f(x)\to L(x\to \infty)$

もし、このような定数$ L $が存在しない場合、関数 $f(x) $が $x $が無限大に向かうとき 極限 を持たないと言い、または関数 $f(x) $が 発散 すると言います。また、$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)$ が存在しないとも言います。

関数の極限定義は、数列と同じなのは、まず極限値$L$を推測してから、この$L$を検証します。

違うところは:


\begin{array}{c|c}
    \hline
    \quad \text{数列極限} \quad\quad&\quad x\to\infty\ \text{の関数極限}\quad \\
    \hline \\
    \text{数列}\ \{a_n\} &\quad \text{関数}\ f(x)\ \text{が}\ |x|\ \text{某正数より大きいとき存在}\quad\\
    \exists N\in\mathbb{Z}^{+} & \exists X > 0\\
    \forall n > N & \forall |x| > X\\
    \\
    \hline
\end{array}

無限大になる関数の極限例

image.png

正の無限大、または負の無限大になる関数の極限

正の無限大、または負の無限大になる関数の極限、無限大になる関数の極限、これら三つの定義がほとんど同じです。
違いところは、$x$の範囲です。


\begin{array}{c|c|c}
    \hline
    \quad x\to\infty\ \text{関数極限} \quad&\quad x\to+\infty\ \text{関数極限} \quad&\quad x\to-\infty\ \text{関数極限}\quad \\
    \hline\\
    |x|\ \text{>某正数} & x\ \text{>某数} & x\ \text{<某数}\\
    \forall |x| > X & \forall x  > X & \forall x < -X\\\\
    \hline
\end{array}

image.png

無限大の極限が存在するための十分条件

無限大になる関数の極限が存在の充分必要な条件が:正の無限大、または負の無限大になる関数の極限が存在且つ同じです。

\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}f(x)=L\iff\lim_{x\to\infty}f(x)=L

以下の例を参照:

image.png

0
0
0

Register as a new user and use Qiita more conveniently

  1. You get articles that match your needs
  2. You can efficiently read back useful information
  3. You can use dark theme
What you can do with signing up
0
0

Delete article

Deleted articles cannot be recovered.

Draft of this article would be also deleted.

Are you sure you want to delete this article?