本記事は数学講座5.1 行列の階数を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。

行列関数$Ax=y$において、インプット$x$が２次元のベクトル空間であれば、アウトプットが２次元、１次元或は０次元の可能性しかありません。(＊３次元、４次元にはいかないです！)

次元数が情報の密度と考えればよいです。情報が同じになるか、落とされるかの２択です。
$×$：低密度$→$高密度
$〇$：高密度$→$低密度、同じ密度

列ベクトル

行列$A$が以下のように、列ベクトルの形で記載していたら：

\boldsymbol{A}=
\begin{pmatrix}
    {\color{green}{a_{11}}}&{\color{blue}{a_{12}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{1n}}}\\
    {\color{green}{a_{21}}}&{\color{blue}{a_{22}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{2n}}}\\
    \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\
    {\color{green}{a_{m1}}}&{\color{blue}{a_{m2}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{mn}}}
\end{pmatrix}
=({\color{green}{\boldsymbol{c_1}}},{\color{blue}{\boldsymbol{c_2}}},\cdots,{\color{purple}{\boldsymbol{c_n}}})

全てのベクトルが含めているベクトル組が列ベクトル組:

列ベクトル組：\{\boldsymbol{c_1},\boldsymbol{c_2},\cdots,\boldsymbol{c_n}\}

列ベクトル組が張る空間が列空間$colsp(\boldsymbol{A})$です。

\begin{aligned}
    colsp(\boldsymbol{A})
        &=span(\{\boldsymbol{c_1},\boldsymbol{c_2},\cdots,\boldsymbol{c_n}\})\\
        &=x_1\boldsymbol{c_1}+x_2\boldsymbol{c_2}+\cdots+x_n\boldsymbol{c_n},\quad x_{1,2,\cdots,n}\in\mathbb{R}
\end{aligned}

列ベクトル組の階数、即ち列空間の次元数が、列階数と呼びます。

列階数=rank(colsp(\boldsymbol{A}))

列ベクトル組が線形独立でしたら、これが列フル階数と呼びます。

例:

$A$行列の列ベクトルが$c_1,c_2$

\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-1&2\\0&2\\1&-2\end{pmatrix}
\\
\boldsymbol{c_1}=\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{c_2}=\begin{pmatrix}2\\2\\-2\end{pmatrix}

列ベクトル組{ $c_1,c_2$ } が張る空間が$R^3$での一つ平面です。即ち行列$A$の列階数が$2$です。

列ベクトル組{ $c_1,c_2$ } が線形独立ですから、行列$A$が列フル階数です。
（＊線形従属でしたら、階数が1になり、線になります）

行ベクトル

行列$A$が以下のように、行ベクトルの形で記載していたら：


\boldsymbol{A}=
\begin{pmatrix}
    {\color{green}{a_{11}}}&{\color{green}{a_{12}}}&\cdots&{\color{green}{a_{1n}}}\\
    {\color{blue}{a_{21}}}&{\color{blue}{a_{22}}}&\cdots&{\color{blue}{a_{2n}}}\\
    \vdots&\vdots&\quad&\vdots\\
    {\color{purple}{a_{m1}}}&{\color{purple}{a_{m2}}}&\cdots&{\color{purple}{a_{mn}}}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}{\color{green}{\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T}}}\\{\color{blue}{\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T}}}\\\vdots\\{\color{purple}{\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T}}}\end{pmatrix}

全てのベクトルが含めているベクトル組が行ベクトル組:

行ベクトル組：\{\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T},\cdots,\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T}\}

行ベクトル組が張る空間が行空間$rowsp(\boldsymbol{A})$です。


\begin{aligned}
    rowsp(\boldsymbol{A})
        &=span(\{\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T},\cdots,\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T}\})\\
        &=x_1\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T}+x_2\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T}+\cdots+x_m\boldsymbol{r_m}^\mathrm{T},\quad x_{1,2,\cdots,m}\in\mathbb{R}
\end{aligned}

行ベクトル組の階数、即ち行空間の次元数が、行階数と呼びます。

行階数=rank(rowsp(A))

行ベクトル組が線形独立でしたら、これが行フル階数と呼びます。

例：

先ほどの行列$A$：

\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-1&2\\0&2\\1&-2\end{pmatrix}

行ベクトル組が：

\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}-1&2\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}0&2\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{r_3}^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}1&-2\end{pmatrix}

行ベクトル組 { ${\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_3}^\mathrm{T}}$ }が張る空間が$R^2$ですので、行列$A$の行階数が$2$です。

{ ${\boldsymbol{r_1}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_2}^\mathrm{T},\boldsymbol{r_3}^\mathrm{T}}$ }が線形従属ですので、$A$が行フル階数ではないです。

行列の階数

全ての行列にとって、行階数と列階数が同じですので、行列の階数と呼びます。
行列$A$の階数が$rank(A)$、或は $r(A)$と記します。
詳細な証明が元の教材を参照できます。

例えば、行列$A$の列空間と行空間とも平面なので、列階数と行階数が両方とも$２$になります。

\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-1&2\\0&2\\1&-2\end{pmatrix}

参考情報