本記事は数学講座5.8 行基本変形による階数の求め方を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。

[まとめ]

行階段行列のランク

行列関数のマッピング規則（全射、単射など）のいくつかを学ぶました。全部行列のランクと関わっていますので、行列のランクが大事な概念です。

行階段行列のランクが解けやすいですので、行列を基本行変換して、ランクが変わらないので、行列を行階段行列に変換して、ランクを解くのが簡単です。

例えば、以下の行階段行列$A$があります：

\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&0&5\\0&0&0\end{pmatrix}

全部$0$ではない行が$\boldsymbol{r}_1^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}1&0&2\end{pmatrix},\quad\boldsymbol{r}_2^\mathrm{T}=\begin{pmatrix}0&0&5\end{pmatrix}$

$A$の行ベクトル空間が$rowsp(\boldsymbol{A})=span(\boldsymbol{r}_1^\mathrm{T},\boldsymbol{r}_2^\mathrm{T})$です。
{$\boldsymbol{r}_1^\mathrm{T},\boldsymbol{r}_2^\mathrm{T}$}が線型独立ですので、$rank(\boldsymbol{A})=2$になります。

行基本変形によるランクの求め方

任意の非零行列$\boldsymbol{A}$は、有限回の基本変形をすることによって、行階段行列と行簡約階段行列に変換できます。
基本変形は基本行列$\boldsymbol{E}_i$によって実現できるため、上記の過程は以下のように表現できます。

\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{E}_2...\boldsymbol{E}_n\boldsymbol{A}=行階段行列（行簡約階段行列）

行階段行列には唯一性がないです。行簡約階段行列は唯一のものです。

rank(\boldsymbol{A})=rank(\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{E}_2...\boldsymbol{E}_n\boldsymbol{A})=rank\Big(行阶梯形矩阵（行最简形矩阵）\Big)

例題

列基本変形

列の基本変形は、行の基本変形と同じものです。

列の基本変形


\begin{array}{c|c|c}
    \hline
    \quad 基本列操作\quad &\quad 操作\quad &\quad 基本列行列\quad\\
    \hline
    \\
    \quad \color{SkyBlue}{j列目のk倍を加える}\quad &\quad \boldsymbol{c_1}'=\boldsymbol{c_1}+k\boldsymbol{c_2}\quad &\quad \begin{pmatrix}1&0&0\\{\color{red}{k}}&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\quad
    \\
    \\
    \hline
    \\
    \quad \color{Goldenrod}{ある列をk倍する}\quad &\quad \boldsymbol{c_1}'=k\boldsymbol{c_1} (k\neq 0)\quad &
    \quad \begin{pmatrix}{\color{red}{k}}&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\quad \\
    \\
    \hline
    \\
    \quad \color{orange}{入れ替える}\quad &\quad \boldsymbol{c_1}\leftrightarrow \boldsymbol{c_2}\quad &
    \quad \begin{pmatrix}{\color{red}{0}}&{\color{red}{1}}&0\\
    {\color{red}{1}}&{\color{red}{0}}&0\\{\color{red}{0}}&{\color{red}{0}}&1\end{pmatrix}\quad \\
    \\
    \hline
\end{array}

[比較]行の基本変形


\begin{array}{c|c|c}
    \hline
    \quad 基本行操作\quad &\quad 操作\quad &\quad 基本行行列\quad\\
    \hline
    \\
    \quad \begin{aligned}\color{SkyBlue}{j行目のk倍を加える}\qquad\qquad\quad\\\text{row-addition transformations}\end{aligned}\quad &\quad \boldsymbol{r_1}'=\boldsymbol{r_1}+k\boldsymbol{r_2}\quad &\quad \begin{pmatrix}1&{\color{red}{k}}&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\quad
    \\
    \\
    \hline
    \\
    \quad \begin{aligned}\color{Goldenrod}{ある行をk倍する}\qquad\qquad\quad\\\text{row-multiplying transformations}\end{aligned}\quad &\quad \boldsymbol{r_1}'=k\boldsymbol{r_1} (k\neq 0)\quad &
    \quad \begin{pmatrix}{\color{red}{k}}&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\quad \\
    \\
    \hline
    \\
    \quad \begin{aligned}\color{orange}{入れ替える}\qquad\qquad\quad\\\text{row-switching transformations}\end{aligned}\quad &\quad \boldsymbol{r_1}\leftrightarrow \boldsymbol{r_2}\quad &
    \quad \begin{pmatrix}{\color{red}{0}}&{\color{red}{1}}&{\color{red}{0}}\\
    {\color{red}{1}}&{\color{red}{0}}&{\color{red}{0}}\\0&0&1\end{pmatrix}\quad \\
    \\
    \hline
\end{array}

例えば、行列$A$を基本列の基本変形で実施すると：

標準形行列

行の簡約形の行列を更に、列の基本変形をすると、もっとシンプルな行列になります。

\begin{pmatrix}1&2&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\xrightarrow[\color{red}{\text{1列目の-2倍を２列目に加える}}]{\quad \boldsymbol{c}_2'=-2\boldsymbol{c}_1+\boldsymbol{c}_2\quad}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}\xrightarrow[\color{red}{\text{入れ替える}}]{\quad \boldsymbol{c}_2\leftrightarrow \boldsymbol{c}_3\quad}\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}

このシンプルな行列の特徴は、左上が単位行列です。その以外は全部$0$です。これが標準形行列です。


\left(
\begin{matrix}
    \left(\begin{aligned}1\ \ \ 0\\0\ \ \ 1\end{aligned}\right)&\begin{aligned}0\\0\end{aligned}\\
    0\ \ \ 0& 0
\end{matrix}
\right)

上記のをまとめると：
任意の行簡約行列$\boldsymbol{A}$は、有限回の列の基本変形をすることによって、標準形行列に変換できます。
基本変形は基本行列$\boldsymbol{E}_i$によって実現できるため、上記の過程は以下のように表現できます。

\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{E}_2...\boldsymbol{E}_n\boldsymbol{A}=標準形行列

標準形行列は唯一のものです。

rank(\boldsymbol{A})=rank(\boldsymbol{A}\boldsymbol{E}_1\boldsymbol{E}_2...\boldsymbol{E}_n)=rank\Big(標準形行列\Big)

参考情報