本記事は数学講座2.16関数の連続性を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。
連続の定義
定義：
関数$y=f(x)$が$x_0$の局所に定義あり、且つ：
$\Delta x=x-x_0,\quad \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$
もし：
$\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to 0}\left[f(x_0+\Delta x)-f(x_0)\right]=0$
であれば、関数$f(x)$が$x_0$点で連続（Continuous）。
また、
以下の定義でも成立します。
関数$y=f(x)$が$x_0$の局所に定義あり、且つ：
$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$
であれば、関数$f(x)$が$x_0$点で連続（Continuous）。
連続
連続ではない
左連続、右連続
- $\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0)$、関数$f(x)$が$x_0$点で左連続です。
- $\displaystyle\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)$、関数$f(x)$が$x_0$点で右連続です。
左連続、且つ右連続が、関数連続の充分必要条件です。
連続関数
定義：
区間内の全ての点で連続であれば、区間内の連続関数と呼びます。
参考