本記事は数学講座6.3 解集合を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。
解の集合
線形方程式$Ax=b$で全ての$x$の集合です、解がなければ空の集合$\varnothing$になります。
２種類の線形方程式
線形方程式$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$について考えます。
- $\boldsymbol{b}=\boldsymbol{0}$の場合、つまり$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$の場合、これを斉次方程式(せいじほうていしき) と呼びます。
- $\boldsymbol{b}\ne\boldsymbol{0}$の場合、つまり$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$の場合、これを非斉次方程式(せいじほうていしき) と呼びます。
零空間
斉次方程式$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$の解の集合が$\boldsymbol{A}$のゼロ空間、$null(\boldsymbol{A})$です。
- $null(\boldsymbol{A})$が斉次方程式$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$の解の集合です。
- $null(\boldsymbol{A})$が必ずベクトル空間です。
解の集合の構成
ベクトル空間$\boldsymbol{A}$とゼロ空間$null(\boldsymbol{A})$があります、非斉次方程式$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x_{}}=\boldsymbol{b}$の解の集合が：
$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{p}+null(\boldsymbol{A})$
$\boldsymbol{p}$が$\boldsymbol{A}\boldsymbol{x_{}}=\boldsymbol{b}$の一つの解です。特殊な解なので、特解も呼ばれます。
斉次方程式と非斉次方程式の例
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例1
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例2
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例3
