本記事は数学講座4.3 一般的な行列関数を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。
回転関数以外に、一般的な行列関数がまだあります。こちらで他のよく利用されている行列関数を紹介します。
単位行列
単位行列は、単位$1$と同じです、単位行列をかけても、何も変わらないです。
$2\times 2$の単位行列が
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}
単位行列の列ベクトルも自然基底です。
\boldsymbol{c_1}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\boldsymbol{e_1},\quad\boldsymbol{c_2}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\boldsymbol{e_2}
その幾何的意味が、単位行列関数$Ax=y$で、どんなインプットのベクトルでも、アウトプットが変わらないです。
鏡映変換行列
数学における鏡映（きょうえい、英: reflection）あるいは鏡映変換とはユークリッド空間の超平面を固定点集合にもつ等長変換である。
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
その列ベクトルは単位行列と同じで、自然基底ですが、順番が違います。
\boldsymbol{c_1}=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\boldsymbol{e_2},\quad\boldsymbol{c_2}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\boldsymbol{e_1}
そうすると、$Ax=y$関数を通して、インプットベクトル内の要素の順番が逆転になります。
入力ベクトル：\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}
\quad → 出力ベクトル：
\begin{pmatrix}x_2\\x_1\end{pmatrix}
幾何的意味であれば、以下のように回転して：
拡大縮小行列
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&0\\0&k\end{pmatrix}
その列ベクトルが：
\boldsymbol{c_1}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\boldsymbol{e_1},\quad\boldsymbol{c_2}=\begin{pmatrix}0\\k\end{pmatrix}=\boldsymbol{ke_2}
そうすると、$Ax=y$関数を通して、インプットベクトル内の要素は、$y$が$e_2$の方向で$k$倍まで拡大になります。。
入力ベクトル：\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}
\quad → 出力ベクトル：
\begin{pmatrix}x_1\\kx_2\end{pmatrix}
幾何的意味は以下の通りです。
Shear 行列
\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}1&k\\0&1\end{pmatrix}
その列ベクトルが：
\boldsymbol{c_1}=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}=\boldsymbol{e_1},\quad\boldsymbol{c_2}=\begin{pmatrix}k\\1\end{pmatrix}=\boldsymbol{e_2}+\begin{pmatrix}k\\0\end{pmatrix}=k\boldsymbol{e_1}+\boldsymbol{e_2}
そうすると、$Ax=y$関数を通して、インプットベクトル内の要素は、$y$が$e_1$の方向でへ移行移動しました。
入力ベクトル：\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}
\quad →出力ベクトル：
\begin{pmatrix}x_1 + kx_2\\x_2\end{pmatrix}
幾何的意味は以下の通りです(以下の例では$k$が1ですので、右へ$1$の単位で移動しました)。
