本記事は数学講座2.9ハインの定理を勉強して投稿したメモです。詳細は元の素晴らしい講座のページをチェックしてください。
ハイネ 定理
関数$f(x)$の定義域内で、$\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n=x_0，x_n\ne x_0，n\in\mathbb{Z}^+$ の数列{$x_n$}。このとき、以下の関係が成り立ちます：
\lim_{n\to\infty} f(x_n)=L\iff \lim_{x\to x_0}f(x)=L
ハイネ定理が関数極限と数列極限の関係を結ぶ架け橋となる定理です。
https://www.matongxue.com/lessons/905/parts/831
なぜこのハイネ定理が必要なのか、証明方法とか、まだ理解できていないです！
後で補足を追記します！
応用例1
- $\displaystyle\lim_{x\to 0}\sin \frac{1}{x}$が存在しないことを証明する
関数$\displaystyle f(x)=\sin \frac{1}{x}$の図が以下通りです。$x=0$の時に、関数が定義なし！
- 数列 {${f(x_n)}$}、{$\displaystyle{x_n}$} = {${\frac{1}{2n\pi-\frac{\pi}{2}}}$}、$→ $ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}x_n=0$且つ$x_n\ne 0$
- 数列 {${f(y_n)}$}、{$\displaystyle{y_n}$} = {${\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}}$}、$→ $ $\displaystyle\lim_{n\to\infty}y_n=0$且つ$y_n\ne 0$
但し、この時の$f(x_n)$と$f(y_n)$が違う
- $f(x_n)$ = -1
- $f(y_n)$ = 1
ハイネ定理によれば：
同様な方法で、$\displaystyle\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sin x$ 存在しないことも証明できます。
練習
- 以下の説明が正しいか：
もし、数列${x_n}$が存在し、$\lim_{n\to \infty}x_n = x_0 (x_n \neq x_0)$を満たし、$\lim_{n\to \infty} f(x_n)=L$である場合、$\lim_{x\to x_0}f(x)=L$となります。
↑
上記の説明が正しくない、存在ではなく、任意が正しいです。
例えば、上記の応用例1の場合は、以下の$x_n$の数列であれば、$\lim_{n \to \infty}x_n = 0$、且つ$\lim_{n \to \infty}f(x_n)=0$ですが、$\lim_{x\to x_0}f(x)=L$が存在しないです！
\{x_n\}=\{\frac{1}{n\pi}\}
補足
- ハイネ定理での$x_n\neq x_0$が必要な理由：
