1. 一般方程式 (関数)
- 定義: 導関数や偏導関数を含まない関数の関係式。
-
形式:
または
f(x) = 0y = f(x) -
ユースケース:
- 代数: 線形方程式や非線形方程式。
- 経済学: 需要と供給の関係、マーケットの均衡。
- 数理最適化: 最適化問題の目的関数や制約条件。
2. 線形方程式 (Linear Equations)
- 定義: 変数が1次（またはそれ以下）の項だけを含む方程式。
-
形式:
a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b -
ユースケース:
- 代数: 連立線形方程式、行列の操作。
- 経済学: 生産関数、需給のバランス。
- 物理学: 静的な力学系の解析。
3. 非線形方程式 (Nonlinear Equations)
- 定義: 変数が1次以外の項（例えば二乗項や高次の項）を含む方程式。
-
形式:
a_1x_1^2 + a_2x_2^2 + \dots + a_nx_n^2 = b -
ユースケース:
- 物理学: 非線形振動、カオス理論、力学系。
- 生物学: 個体群モデル、感染症の伝播。
- 化学: 反応速度論における非線形現象。
4. 整数方程式 (Diophantine Equations)
- 定義: 解が整数（または有理数）であることを要求する方程式。
-
形式:
a_1x_1 + a_2x_2 + \dots + a_nx_n = b -
ユースケース:
- 数論: 整数の解を求める問題（最大公約数、最小公倍数）。
- 暗号学: RSA暗号など、整数論に基づいた暗号技術。
5. 微分方程式 (Ordinary Differential Equation, ODE)
- 定義: 1つの変数に関する関数の導関数を含む方程式。
-
形式:
\frac{dy}{dx} = f(x, y) -
ユースケース:
- 物理学: 速度や加速度、運動方程式（ニュートンの法則）。
- 化学: 反応速度論における物質の濃度変化。
- 生物学: 個体群の成長モデルや感染症の伝播。
- 電気回路: RLC回路の解析。
6. 偏微分方程式 (Partial Differential Equation, PDE)
- 定義: 複数の変数に関する関数の偏導関数を含む方程式。
-
形式:
\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} -
ユースケース:
- 流体力学: ナビエ–ストークス方程式。
- 熱伝導: 熱方程式（物質内の熱の拡散）。
- 波動方程式: 音波、光波、弾性波など。
- 量子力学: シュレディンガー方程式。
7. 差分方程式 (Difference Equations)
- 定義: 離散的な変数に関する方程式で、関数の値が隣接する値に依存する。
-
形式:
y_{n+1} = f(n, y_n) -
ユースケース:
- 経済学: 経済動向、消費者行動の時間変化。
- 人口動態: 年ごとの人口の成長。
- 金融学: 投資のリターン、株価の変動。
8. 確率方程式 (Stochastic Equations)
- 定義: 確率論に基づいた方程式で、ランダム変数を含む。
-
形式:
dX = \mu dt + \sigma dW_t -
ユースケース:
- 金融: 株価のモデリング（ブラック・ショールズ方程式）。
- 物理学: 粒子のランダム運動（ブラウン運動）。
- 経済学: 確率的ダイナミクスやランダムショック。
9. 最適化方程式 (Optimization Equations)
- 定義: ある目的関数を最大化または最小化する方程式。
-
形式:
subject to:
\text{minimize} \quad f(x)g(x) \leq 0, \quad h(x) = 0 -
ユースケース:
- 工学: 製造プロセスの最適化、リソース配分。
- 経済学: 利益最大化、コスト最小化。
- 機械学習: ニューラルネットワークのパラメータ最適化。