#Youngの不等式の拡張
Youngの不等式の拡張として以下が成り立つ. $a, b \geq 0$, $p, q, r \geq 1$, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r}$とすると,
$$ (ab)^r \leq \frac{r}{p}a^p + \frac{r}{q}b^q $$
証明は詳細は略すが, $x = \frac{a^{p-r}}{b^r}$とすると $\frac{\frac{r}{p}a^p + \frac{r}{q}b^q}{(ab)^r} = \frac{r}{p}x + \frac{r}{q}x^{1 - \frac{q}{r}}$であるのでこれが $x \in (0, \infty)$で1以上であることを言えればよく, これを $f(x)$とすると
$$ f'(x) = \frac{r}{p}(1 - x^{-\frac{q}{r}}) $$
であるため $x = 1$で最小値をとり, そのとき $f(x) = 1$である.

#Hölderの不等式の拡張

Hölderの不等式
Hölderの不等式とは以下のようなものだった. $1 \leq p, q \leq \infty$, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$とすると $f \in L^p(\Omega)$, $g \in L^q(\Omega)$に対して,
$$\int_{\Omega} |f(x)g(x)| dx \leq \|f\|_{L^p(\Omega)} \|g\| _{L^q(\Omega)}$$
となる.
Hölderの不等式の拡張
上記のHölderの不等式を拡張して以下が成り立つ. $1 \leq p, q, r \leq \infty$, $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{1}{r}$とすると $f \in L^p(\Omega)$, $g \in L^q(\Omega)$に対して,
$$ \|fg\| _{L^r} \leq \|f\| _{L^p} \|g\| _{L^q} $$
証明
$f, g$をそれぞれ$\|f\| _ p, \|g\| _ q$で割ることで$\|f\| _ p = \|g\| _ q = 1$である場合に帰着できる.
Youngの不等式の拡張で$a = |f(x)|, b = |g(x)|$とすると,
$$|fg(x)|^r \leq \frac{r}{p}|f(x)|^p + \frac{r}{q}|g(x)|^q$$
が成り立つ. $x$に関して両辺積分すると,

\|fg\| _{L^r}^r = \int_{\Omega} |f(x)g(x)|^r dx \leq \frac{r\|f(x)\|^p_p}{p} + \frac{r\|g(x)\|^q_q}{q} = 1

$\hspace{10pt}$となり,

\|fg\| _{L^r} \leq 1 = \|f\|_{L ^p} \|g\| _{L ^q}

$\hspace{10pt}$より求める式が得られた.

#より一般的な拡張
上記の不等式を複数回用いることで以下の不等式が得られる.
$n \in \mathbb{N}$, $1 \leq p_i \leq \infty$, $r < \infty$, $\sum_{i = 1}^n \frac{1}{p_i} = \frac{1}{r}$ とすると $f_i \in L^{p_i}(\Omega)$ に対して,
$$ \|\prod_{i = 1}^n f_i\| _{L^r} \leq \prod _{i = 1}^n \|f_i\| _{L^{p_i}} $$