AIのための数学講座を受講した
動機・感想
前回読んだ推薦入門での推薦アルゴリズムを実践するための基礎数学力が足りてないなと思ったため。
本買ってきて手計算で頑張るのは挫折しそうだったので、UdemyでPython使いながら学べるコースを探した。
5時間ほどのコースなので、各分野への説明はかなり省略されておりほとんど公式の羅列に近かったが、わからない部分や証明に関してChatGPT-4に聞いたり、練習問題を出してもらったりしながら進めることで終えることができた。
動画 + Jupyter Notebok(Python) + ChatGPT + Latexによってかなり学習のハードルが下がっていると感じた。
一方で推薦アルゴリズムのための数学ではないので、ある程度行列や確率、微分の基礎をおさえられたが、追加で落下傘式に学習する必要がありそう。
以下は線形変換でベクトルに行列をかける、というのがよくわからなかったのでChatGPTに聞いたときの例:
線形変換について
Human: 線形変換よく分からなかったので教えて
ChatGPT: 線形変換とは、ベクトル空間において一つの空間から別の空間への変換を表す概念です。線形変換は、以下の二つの性質を満たします。加法の保存: T(u + v) = T(u) + T(v) 、任意のベクトル u, v に対して成り立つ。スカラー倍の保存: T(cv) = cT(v) 、任意のスカラー c とベクトル v に対して成り立つ。ここで、T は線形変換を表す関数、u と v はベクトル、c はスカラーです。線形変換の一般的な例としては、ベクトルのスケーリング（拡大・縮小）、回転、鏡映などが挙げられます。線形変換は、行列を使って表現することができます。線形変換 T が与えられたとき、T を適用することは、行列 A をベクトル x に掛けることと同じです。すなわち、T(x) = Ax です。この行列 A を、線形変換の表現行列と呼びます。線形変換は、幾何学、物理学、画像処理、機械学習などの分野で広く応用されています。例えば、画像の回転やリサイズ、座標系の変換、線形方程式の解法など、多くの問題が線形変換を用いて解決されます。
Human: 行列Aをベクトルxにかける、ってどういうこと？
ChatGPT: 行列Aをベクトルxにかけるというのは、行列とベクトルの積を計算することを意味します。これは、行列Aの各行とベクトルxの各要素を掛け算し、それらの和を新しいベクトルの各要素とする操作です。具体的には以下の手順で計算されます。行列Aの行数とベクトルxの要素数が一致していることを確認します。行列Aがm行n列で、ベクトルxがn要素であることが必要です。一致していない場合、積を計算することはできません。積の結果となる新しいベクトルを作成します。このベクトルは、行列Aの行数（m）と同じ要素数を持ちます。行列Aの各行とベクトルxの各要素を掛け算し、それらの和を新しいベクトルの対応する要素に設定します。具体的には、新しいベクトルの第i要素は、行列Aの第i行とベクトルxの要素ごとの積の総和になります。例として、以下の行列Aとベクトルxを考えます。codeA = | 2 3 | x = | 4 |
| 1 2 | | 5 |
行列Aとベクトルxの積は次のように計算されます。| 24 + 35 | | 23 |
| 14 + 25 | = | 14 |
結果として得られるベクトルは、| 23 | と | 14 | です。この操作は、線形変換で言うところの T(x) = Ax を計算していることに相当します。
Human: 行列をベクトルに変換するのが線形変換ってこと？
ChatGPT: いいえ、線形変換とは、行列をベクトルに変換することではありません。線形変換は、あるベクトル空間から別のベクトル空間への変換を表す概念であり、その変換を行列とベクトルの積を使って表現することができます。線形変換は、あるベクトルxを別のベクトルyに変換する関数Tを指します。この関数Tは、加法の保存とスカラー倍の保存という2つの性質を満たします。線形変換Tを行列Aを使って表現することができます。このとき、線形変換Tは、ベクトルxに行列Aを掛ける操作と等価になります。すなわち、T(x) = Ax です。線形変換は、ベクトルを別のベクトルに変換することを意味しますが、行列そのものをベクトルに変換するわけではありません。線形変換は、ベクトルの拡大・縮小、回転、鏡映など、幾何学的な変換を表すことができます。また、線形変換は、幾何学、物理学、画像処理、機械学習などの分野で広く応用されています。
Human: ベクトルをベクトルに変換するってこと？
ChatGPT: はい、その通りです。線形変換は、あるベクトルを別のベクトルに変換する概念です。線形変換は、関数Tとして表現され、以下の二つの性質を満たします。加法の保存: T(u + v) = T(u) + T(v) 、任意のベクトル u,
Human: ベクトルを別のベクトルに変換するときになぜ行列が出てくるの？
ChatGPT: ベクトルを別のベクトルに変換するときに行列が出てくる理由は、行列が線形変換を簡潔に表現し、計算しやすい形式を提供するからです。行列は線形変換の性質を保持し、ベクトル空間の基底に沿った変換を効率的に表現できます。行列を使って線形変換を表現する場合、行列の各列は、変換後の空間における元の空間の基底ベクトルの座標を表します。つまり、行列によって線形変換がどのように働くかが明確になります。行列とベクトルの積を計算することで、ベクトルを別のベクトルに変換できます。この計算は、行列の各行とベクトルの要素を掛け合わせて合計することで行われ、新しいベクトルが生成されます。この操作は、線形変換における加法の保存とスカラー倍の保存の性質を維持します。行列を用いることで、線形変換の計算が効率的に行えるだけでなく、線形代数の概念や手法を線形変換に適用できるようになります。これにより、幅広い問題を解決できるようになります。例えば、連立方程式の解法、固有値と固有ベクトルの計算、行列の分解などが線形変換を扱う際に役立ちます。