群について

この記事では、代数に登場する「群」について解説しています。

群の定義

演算$\cdot$が定義された集合$G$が以下を満たすとき、$G$を群という

任意の$a,b \in G$に対して、$ab\in G$.　（演算について閉じていること）
全ての$a\in G$に対し、
$a\cdot 1 = 1 \cdot a = a$
となる要素$1\in G$が存在する。　（単位元の存在）
任意の$a\in G$に対して、
$a\cdot a^{-1} = a^{-1}\cdot a = 1$
となる要素　$a^{-1}\in G$が存在する。　（逆元の存在）

群の例

群は「積」のみ定義された集合の一般化となっています。通常の掛け算で整数全体の集合は群になりますし、そのほかにも数多くの群の例があります。

例えば、

ある集合$E$で定義され、$E$に値をとる全単射な写像全体、すなわち

$$G:= \{ f:E \to E \mid f: \text{全単射} \}$$

は写像の合成を演算として群になります。

部分群

群$G$の部分集合$H\subset G$がそれ自体として群となるとき、$H$を$G$の部分群という。

集合$G$が群になるかどうかの簡単な判定方法を紹介します。

命題

以下の条件を満たすと$H$は部分群である。

$$a,b \in H \Rightarrow a\cdot b^{-1} \in H $$

（証明）

$H$は空集合ではないので、少なくとも１つの要素$a\in H$を持つ。仮定から　$1= a\cdot a ^{-1} \in H$が言える。

次に、任意の要素　$b\in H$をとる。再び、仮定を使うと　$b^{-1}= 1\cdot b^{-1} \in H$がいえる。

以上より、$H$がそれ自体として群になることがわかった。QED

同値関係に関する補足

数学全体で重要な概念の一つとして「同値関係」があります。

定義

関係　$x\sim y$が以下の条件をみたすとき、同値関係という。

$x\sim y \iff y\sim x$
$x\sim x$
$x\sim y, y\sim z \Rightarrow x\sim z$

同値関係は通常のイコール（$=$）の一般化になっています。同値関係の例として有名なのは整数の余りでしょうか。

例

$x,y \in \mathbb{Z}$とする。このとき、

$$ x\sim y \iff x-y \text{ が３で割り切れる} $$

と定義すると$x\sim y$は同値関係になる。

このように、ある集合$E$上に同値関係が定義されると、その同値関係により集合は分割されます。

「分割」とは、その集合を互いに交わらない部分集合の和集合として表すこと。

なぜなら、

$$ E_{x}:=\{y\in E \mid x\sim y \}$$

とおくと、

$$ E=\cup_{x\in E}E_{x},\quad E_{x}\cap E_{y}=\phi\quad (x!=y)$$

となるからです。

ここで、$E_{x}$とは$x$と同値関係になる要素を全て集めた集合であることに注意して下さい。

上記の「３でわった余り」の同値関係では、整数全体の集合が以下のように分割されます。

条件	要素
３で割り切れる	$\cdots -3,0,3,6,9\cdots$
３で割ると１余る	$\cdots -2,1,4,7,10,\cdots$
３で割ると２余る	$\cdots -1,2,5,8,11,\cdots$

さきほどの記法では、

$$
E_0=\{\cdots -3,0,3,6,9\cdots \},
\
E_1=\{\cdots -2,1,4,7,10,\cdots\},
\
E_2=\{\cdots -1,2,5,8,11,\cdots\},
$$

ということです。

このように、集合に同値関係が入ると、その同値関係で集合が分割されるということは非常に大切なポイントだと思います。

命題

$G$を群、$H\subset G$を部分群とする。このとき、$G$上に関係$x\sim y$を

$$x\sim y \iff xy^{-1}\in H$$

と定義すると、これは同値関係になる。

（証明）

$$
x\sim y \iff xy^{-1}\in H \iff
yx^{-1}=(xy^{-1})^{-1}\in H \iff y\sim x.
$$

$x\cdot x^{-1}=1\in H$より、$x\sim x$.

$x\sim y , y\sim z \Rightarrow xy^{-1}\in H, yz^{-1}\in H$に注意。このとき、
$xz^{-1}=(xy^{-1})(yz^{-1})\in H.$ QED

ここまで準備すると、ラグランジュの定理が証明できます。ただ、今日はこのへんで終わりにしておきたいと思います。最後までお読みいただきありがとうございました。