個人的な数学備忘録になります。以下の定理の証明を書いておきます。

[定理]

有限体の可逆元全体は巡回群となる。

（証明）

$G$を有限体の可逆元全体からなる群とする。また、$n=|G|, d|n$とする。

もし、$|a|=d$となる要素$a\in G$があったとすると,$a$で生成される$G$の部分群$H$を考えることができる。

すなわち、

H=\left\{a^i \mid i \in \mathbb Z  \right\}

である。

ここで、

\tilde H =\left\{x\mid 
x^d =1
\right\}

とおく。明らかに、$H \subset \tilde H$がいえる。

一方、$G$は体の部分集合であるので、方程式$x^d=1$の解はせいぜい$d$個しか存在しない。

よって

$$
d= | H| \geq |\tilde H|
$$

以上により、$H=\tilde H$がわかった。

ここで、$x^d=1$をみたす$x\in G$の個数を$\psi (d)$とする。これまでの考察より

$$
\psi (d)=0
\quad
\text{or}
\quad
\psi (d)=\phi (d)
$$
がいえる。ここで$\phi(d)$はユークリッドの関数である。すなわち

\phi(d)=| \left\{z\in \mathbb N \cap [1,d]\mid gcd(d,z)=１ \right\}|

である。

$$
\sum_{d\mid n}\psi(d)=\sum_{d\mid n}\phi(d)
$$

が成り立つ。すべての$d\mid n$に対して$\psi(d)\leq \phi(d)$であるから

$$ \psi(d)=\phi(d) \quad \text{for all}\quad d\mid n
$$

がわかった。特に、$\psi(n)=\phi(n)＞０$であるから、位数が$n$である$G$の要素が存在する。よって、$G$は巡回群である。