はじめに
これは，前回の記事C言語で回転する立方体をつくるの続編です．
まずは見てみましょう．
この動画の中に最小限の説明がされているのですが，凡人な自分の頭では理解が苦しかったので，わかる範囲で解説してみます．前提知識
今回も座標上で回転をするため， 回転行列 を用います．前回の記事で説明しているので，結果だけを書きます．詳しくは前回の記事をお読みください．
\begin{align}
R_x(\theta) =
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta & -\sin\theta\\
0 & \sin\theta & \cos\theta\\
\end{array}\right)\\
R_y(\theta) =
\left(\begin{array}{ccc}
\cos\theta & 0 & \sin\theta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin\theta & 0 & \cos\theta\\
\end{array}\right)\\
R_z(\theta) =
\left(\begin{array}{ccc}
\cos\theta & -\sin\theta & 0\\
\sin\theta & \cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\end{align}
ただし，今作では$R_x(\theta), R_z(\theta)$しか用いません．
背景の数学
1. 省略記法
これから実際に書いていくのですが，$\sin A$やら$\cos j$やら面倒くさいので，省略します．
\begin{align}
c = \sin i, l = \cos i \\
f = \sin j, d = \cos j \\
e = \sin A, g = \cos A \\
n = \sin B, m = \cos B
\end{align}
以上のように置き換えて記述します．
2. ドーナツをつくる
まず，$xz$平面にドーナツの断面の円を描きます．断面の円の半径は$1$，原点からその円の中心までは$2$です．したがって，
\begin{align}
\left(\begin{array}{c}
2 + d \\
0 \\
f
\end{array}\right)
\end{align}
と書けます．ここで，
h = 2 + d
として，
\begin{align}
\left(\begin{array}{c}
h \\
0 \\
f
\end{array}\right)
\end{align}
とします．
つぎにこの円を$z$軸中心に$1$周回転させ，ドーナツを作ります．
\begin{align}
\left(\begin{array}{ccc}
l & -c & 0 \\
c & l & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
h\\ 0\\ f
\end{array}\right)\\
\end{align}
左の画像のようにできました！
3. ドーナツを回転させる
ドーナツを回転させます．回転方法は，まず$x$軸を$A$回転したのち，$z$軸を$B$回転させます．よって，
\begin{align}
&\left(\begin{array}{ccc}
m & -n & 0 \\
n & m & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & g & -e \\
0 & e & g
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{ccc}
l & -c & 0 \\
c & l & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
h\\ 0\\ f
\end{array}\right)\\
&=
\left(\begin{array}{c}
lhm - (chg-fe)n \\
lhn + (chg-fe)m \\
che + fg
\end{array}\right)\\
&=
\left(\begin{array}{c}
lhm - tn \\
lhn + tm \\
che + fg
\end{array}\right)
\end{align}
となります．ただし，簡単のため
t = chg-fe
としました．最後に，$z$軸に関して$5$だけ平行移動させます．視点（画面・screen）からドーナツを少し離すためです．
\begin{align}
\left(\begin{array}{c}
lhm - tn \\
lhn + tm \\
che + fg + 5
\end{array}\right)
\end{align}
これがドーナツの各点を表します．
4. 3Dを2Dに
次に，3次元上にある点を2次元に落とし込みます．遠くにあるものほど小さく投影したいので，$x$座標に$1/z$を掛けて縮小します．$y$座標も同様です．
\begin{align}
D = 1 / (che + fg + 5)\\
x = D \times (lhm - tn)\\
y = D \times (lhn + tm)
\end{align}
次に，ドーナツ表面の各点の明るさを計算します．平行な光源を用意し，光に当たるところは明るく，当たりにくいところは暗くします．平行光源のベクトルは，動画では
\begin{align}
\left(\begin{array}{c}
0 \\ 1 \\ 1
\end{array}\right)
\end{align}
とされています．光に当たるか当たらないかの判定はドーナツ表面の各点における法線ベクトルを用います．法線ベクトルは以下の通りです．平行光源なので点の位置は関係ないため，$h$ではなく$d$を用い，$z$座標は$+5$する前のものです．
\begin{align}
\left(\begin{array}{c}
ldm - (cdg-fe)n \\
ldn + (cdg-fe)m \\
cde + fg
\end{array}\right)\\
\end{align}
この法線ベクトルと光ベクトルの内積が$-1$に近いほど明るく，$0$になるほど暗く，$0$以上は光が全く当たりません．したがってマイナスをつけて，
\begin{align}
N=
\left(\begin{array}{c}
0 \\ -1 \\ -1
\end{array}\right)
\cdot
\left(\begin{array}{c}
ldm - (cdg-fe)n \\
ldn + (cdg-fe)m \\
cde + fg
\end{array}\right)
\end{align}
=
(fe - cdg)\times m - cde - fg - ldn
この値が$0\sim 1$の間である点が描画すべき点であり，この値がその点の明るさを示します．
実際に書いてみよう！
float A = 0, B = 0;
float i, j;
int k;
float z[1760];
char b[1760];
まず変数定義です．$i, j, A, B$は前章で考えたものと同じ変数を示します．投影する画面の縦横サイズは$80 \times 22$としています．配列bは表示する文字，配列zはその点の$z$座標の逆数を記憶しておくためのものです．
printf("\x1b[2J");
これでscreenをきれいにします．全面がまっさらな状態になります．
次に，配列の初期化です．
memset(b,32,1760);
memset(z,0,7040);
bは32，すなわち空白文字で初期化しています．zの方はchar型なので4倍してあります．値は0，すなわち無限遠として初期化します．
for(j=0; j < 6.28; j += 0.07) {
for(i=0; i < 6.28; i += 0.02) {
float c = sin(i);
float d = cos(j);
float e = sin(A);
float f = sin(j);
float g = cos(A);
float h = d + 2;
float D = 1 / (c * h * e + f * g + 5);
float l = cos(i);
float m = cos(B);
float n = sin(B);
float t = c * h * g - f * e;
int x = 40 + 30 * D * (l * h * m - t * n);
int y = 12 + 15 * D * (l * h * n + t * m);
int o = x + 80 * y; // 配列のインデックスを計算
int N = 8 * ((f * e - c * d * g) * m - c * d * e - f * g - l * d * n);
if(22 > y && y > 0 && x > 0 && 80 > x && D > z[o]) {
z[o] = D;
b[o] = ".,-~:;=!*#$@"[N > 0 ? N : 0];
}
}
}
これで各$0\leq i, j<2\pi$，すなわちドーナツ上の各点について以下の処理を実行します．$c, d, e, f, g, h, D, l, m, n, t$は前章での省略と同じ意味です．$x, y$座標に関して，$30, 15$倍しているのは単に大きく写すため（拡大倍率），$40, 12$を足しているのは，画面中央に表示するためです．$N$に8倍しているのは，$0\sim 1$の各明るさに対し，8つのASCII文字.,-~:;=!*#$@を割り当てるためです．
最後に標準出力に表示させます．
printf("\x1b[H");
for(k = 0; k < 1761; k++) {
putchar(k % 80 ? b[k] : 10);
A += 0.00004; // 回転
B += 0.00002; // 回転
}
usleep(30000); // 描画速度調整
1行目でカーソルを左上に移動します．上書きするような感じです．screenの幅分表示したら改行（ASCIIで10）しています．
参考
https://youtu.be/DEqXNfs_HhY
https://www.a1k0n.net/2011/07/20/donut-math.html
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E8%BB%A2%E8%A1%8C%E5%88%97
https://www.dropbox.com/scl/fi/f0qfi0figuhlpskpn08z9/donut_deobfuscated.c?rlkey=n5xig3ndm4kvjgh4zx0tv6qi3&e=1&st=ikc9liex&dl=0