概要

無線給電を自作したい！

インダクタンス・結合定数等を考えていたら、これもう、トランスやん

ということで、トランスのLTspiceによる数値解析とトランス実物の周波数解析による検証を行います。

最終的に無線給電の巻き数・密度・供給電圧振幅等の数値を決定し、5V1A程度の出力の送電を実現することを目標としている。

（追記）無事実現できました。

トランスの数値モデル

高校でやる程度のモデルはこちら。理想トランスは巻数と電圧比程度しか考慮に入れない。

実際には以下のリンクに記載の通り、直列抵抗・浮遊容量・漏れインダクタンス・鉄損が存在する。

モデルの要素が多いと解析が大変なため、今回は、1次・2次インダクタンスと結合定数・内部抵抗のみが存在とするとして考える。以下の回路を参照。

LTspiceでのトランスの記述の方法

$K$ $L1$ $L2$ $1$は結合係数が$1$であることを意味している。
また巻線比はインダクタンス比と一致する。

トランスの周波数解析

数値解析をする前に以下の状況に対する伝達関数を数式的に解く

2次側OPEN：入力電圧→入力電流：入力インピーダンスの計算
2次側短絡：入力電圧→入力電流：入力インピーダンスの計算

2次側Openでの出力

数式的には

\begin{eqnarray}
V_{in} &=& R_1 i_1 + L_1 \frac{di_1}{dt} \\
V_{out} &=& kL_{12} \frac{di_1}{dt}\\
L_{12} &=& \sqrt{L_1L_2}
\end{eqnarray}

伝達関数にすると

\begin{eqnarray}
V_{out} &=& \frac{s kL_{12} }{R_1+sL_1} V_{in}\\
&=&k \frac{L_{12}}{L_1} \frac{ \frac{s}{R_1/L_1} }{\frac{s}{R_1/L_1}+1}V_{in}\\
&=&k \frac{L_{12}}{L_1} \frac{ \frac{s}{R_1/L_1} }{\frac{s}{R_1/L_1}+1}V_{in}\\
&=&k \sqrt{ \frac{L_{2}}{L_1} }\frac{ \frac{s}{R_1/L_1} }{\frac{s}{R_1/L_1}+1}V_{in}
\end{eqnarray}

となる。ハイパスフィルタとして働く。カットオフ周波数$\omega [rad/s]$は$\omega = {R_1/L_1}$、ゲインは$k \sqrt{ \frac{L_{2}}{L_1} }$
に決定される。

Ltspiceによる解析

赤実線：$V_{OUT}$
$-6dB,2 \sim 10kHz$カットオフであることがわかる。

数式的には以下のようになり、シミュレーションと一致する。

\begin{eqnarray}

k \sqrt{ \frac{L_{2}}{L_1} } &=& 1.0* \sqrt{ \frac{100u}{400u} }\\
&=& \frac{1}{2}\\

\therefore -20log_{10} \frac{1}{2} 
&=&-6.02dB
\end{eqnarray}

\frac{ {R_1/L_1}}{2 \pi} = 4kHz

実物検証 ST-26トランスを使用

データシートはこちら

ST-26の実測値

直流抵抗、テスターで計測した結果は以下になる。
データシート通りとなった。

\begin{eqnarray}
R_1 &=& 1.68k \Omega\\
R_2 &=& 78.9 \Omega\\
\end{eqnarray}

2次側Open:Vout/Vinを計測

トランス1次側にシグナルジェネレータからスイープ波を送り、下記回路の$V_{out}/ V_{in}$を計測した（図の回路定数は関係なく$R_3$の抵抗値を$20k\Omega,100k \Omega ,200k \Omega$で変更）。

ちなみにR3がないとカットオフ周波数があるかわからない（計測範囲内ではオールパス特性）

わかること

電圧増幅率は約-12.8dBをとった（青線平坦部）、巻数比より$-20log_{10}4.38 = -12.8$で理論値通りの値である。
カットオフ周波数は抵抗が小さすぎて1Hz以下で観測不可
$R_3$を追加することでカットオフ周波数が増加している。コイルと抵抗（$R_3$＋内部抵抗）でハイパスフィルタを形成するためである)
電圧増幅率(平坦部の伝達関数のゲイン)も$R_3$によって低下

\begin{eqnarray}
V_{out} &=& \frac{j \omega L}{R_3 + j \omega L} V_{in}\\
&=&  \frac{1}{R_3/j\omega L + 1} V_{in}\\
\end{eqnarray}

ゲイン低下の理由について（仮定）

鉄損による降下が起きている
コンデンサ由来のLPFと周波数がかぶってゲインが低下している（グラフ緑の線が10kHz以降にLPF特性があるのではないかと予想）

トランスのインピーダンスの計算

下図回路において抵抗にかかる電圧$V_3$→トランスにかかる電圧$V_1$の伝達関数$V_3/V_1$を計測すれば、トランスのインピーダンスの測定ができます。

トランスに流れる電流は$V_3/R$で計算でき、トランスに印加される電圧は$V_1$なのでインピーダンスは$\frac{V_1}{V_3/R}$で計算できます。

によると、トランスの等価回路は

こんな感じで、理想トランスのほかに、

漏れインダクタンスL3,L4
鉄損R3
寄生容量C1,C2

が追加されます。

漏れインダクタンスと結合係数kの関係

ちょっと話がずれますが、理想トランスの表現には結合係数kを使う方法と漏れインダクタンスを使用する場合の二つがあります。

結合係数を使う場合

このように文字を置くと

\begin{eqnarray}
V_{in} &=& L_1 \frac{di_1}{dt} + kL_{12} \frac{di_2}{dt}\\
V_{out} &=& L_2 \frac{di_2}{dt} + kL_{12} \frac{di_1}{dt}\\
\end{eqnarray}

という式で$V_{in},V_{out}$は決定されます。

漏れインダクタンスを使用する場合

と文字を置くと

\begin{eqnarray}
V_{in} &=& L_1' \frac{di_1}{dt} + L_p (\frac{di_1}{dt} + \frac{di_2}{dt} ) \\
V_{out} &=& L_2' \frac{di_2}{dt} + L_p (\frac{di_1}{dt} + \frac{di_2}{dt} ) \\
\end{eqnarray}

という式になります。
これを変形すると

\begin{eqnarray}
V_{in} &=&( L_1' + L_p) \frac{di_1}{dt} + L_p  \frac{di_2}{dt} \\
V_{out} &=& (L_2' + L_p) \frac{di_2}{dt} + L_p \frac{di_1}{dt}  \\
\end{eqnarray}

となります。
結合係数を使う場合と比較すると

\begin{eqnarray}
L_1' &=& L_1 - L_p\\
L_2' &=& L_2 - L_p\\
L_p &=& kL_{12}\\
\end{eqnarray}

とわかります。
右辺に$L_p$を使わず表すと

\begin{eqnarray}
L_1' &=& L_1(1-k \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}) = L_1(1-k \sqrt{n})\\
L_2' &=& L_2(1-k \sqrt{\frac{L_1}{L_2}}) = L_2(1-\frac{k}{ \sqrt{n}})\\
L_p &=& kL_{12}\\
\end{eqnarray}

となることがわかる。$n$は巻き線比（一次側を1とした）です。
結合係数が1に近づくほど$L_1',L_2'$は小さくなっていきます。

周波数ごとの支配について

によると

出力電圧

低周波($r_1 >> \omega L_p$)では$r_1$がほとんどの電圧を食うので、出力$V_{out}=0$となる。

中周波($r_1 << \omega L_p << \frac{1}{\omega C_1} $)では、コンデンサのインピーダンス$ \frac{1}{\omega C_1}$は$j\omega L_p$よりも十分に大きい周波数を考えているので、コンデンサは取り除ける。$\omega L_1$も十分小さいと考えられるので、無視する。

以上より

\begin{eqnarray}
V_{out} &=& \frac{R_1}{R_1 + r_1} V_{in}\\
&=& \frac{1}{1+\frac{r_1}{R_1}} V_{in}\\
\end{eqnarray}

となる。出力部に負荷$Z_L$を追加した場合

\begin{eqnarray}
V_{out} &=& \frac{R_1}{R_1 + r_1 +n^2 r_2 + Z_L} V_{in}\\
&=& \frac{1}{1+\frac{n^2 r_2 +r_1 + Z_L}{R_1} } V_{in}\\
\end{eqnarray}

最初の実験では$r_1$を変化させた（正確には$r_1$に抵抗を追加した）

\begin{eqnarray}
V_{out} &=& \frac{R_1}{R_1 + r_1} V_{in}\\
&=& \frac{1}{1+\frac{r_1}{R_1}} V_{in}\\
\end{eqnarray}

$r_1$が増えたことで、増幅率が落ちたということがわかる。

高周波では、浮遊容量$C_1,C_2$の抵抗が落ちて、コイルに電流が流れなくなるため出力は0になる。

ちなみに実験では、漏れインダクタンス$L_1$と$C_1$で共振することによるピークが高周波に表れた。

インピーダンス

低周波($r_1 >> \omega L_p$)では$r_1$がほとんどの電圧を食うので、トランスのインピーダンスは$r_1$となる。

中周波($r_1 << \omega L_p << \frac{1}{\omega C_1} $)では、

より$r_1 + R_1$となる。

高周波($\omega L_p >> \frac{1}{\omega C_1}$)ではインピーダンスは$\frac{1}{\omega C_1}$となる。

実験による計測結果：2次側openでの1次側インピーダンスの測定

山の左端は位相0で約65dB(=1.78kΩ)で$r_1 = 1.68kΩ$に近い値をとっている(テスターによる実測値と同じ)。
山の左側は、コイル由来で位相が90度進んでいる。
山の右側は、コンデンサ由来で位相が90度遅れている。
完全に理論通りだ！

山のてっぺんは110dB(316kΩ)で、中周波でのインピーダンス$r_1 + R_1$と比較し
$R_1 = 315kΩ$程度と求まる。
$L_p$,$C_1$についても山の傾斜地点での数値を持ってくることで,
$L_p = 33.85H$,$C_1 = 368pF$とわかった。

数値解析

以上のパラメータを入れてシミュレーションした。
以上のパラメータの求め方は

を利用した。実験結果と一致している。

二次側短絡での特性

二次側コイルを短絡して、インピーダンスを測定

測定範囲が40kHzなので共振周波数の取得が失敗している。
二次側短絡は$L_p$短絡と同じなので、$L_1$,$C_1$支配で決定されている。つまり$L_1$の推定が可能である。

その他の実験結果：今後考察するかも

負荷抵抗を20Ωに変えると

負荷抵抗を200Ωに変えると

共振周波数は一次側＋二次側漏インダクタンス＋一次浮遊容量由来である

負荷抵抗を$1k \Omega$に変えると(一次側から見ると$4.38^2 \times 1k = 19.18k \Omega$)

コイル・コンデンサの負荷よりも内部抵抗・負荷抵抗・鉄損抵抗由来が支配している状態。平坦部は87dB = 22.4kΩ 負荷抵抗＋一次側内部抵抗と一致する。

負荷抵抗を20kΩに変えると

高負荷になると、openと同じ特性になる

2次に接続した負荷抵抗によって大きくトランス一次側インダクタンスは大きく変化することがわかる。

巻き線比は4.38なので、一次側から見た等価インピーダンスは19.2倍以上であるといえます。

1次側openで、2次側インピーダンス測定結果

無線給電

いろいろあったが、本題に戻り無線給電について考えていく。
使用する周波数は中周波である必要がある。
なぜなら、
高域：浮遊抵抗による損失
低域：内部抵抗による損失
がメインであるためである。

さて、中周波での特性であるが、前述のとおり

中周波($r_1 << \omega L_p << \frac{1}{\omega C_1} $)では、

より$r_1 + R_1$となる。

\begin{eqnarray}
V_{out} &=& \frac{n R_1}{R_1 + r_1 +n^2 r_2 + n^2Z_L} V_{in} \\
&=& \frac{n}{1+\frac{n^2 r_2 +r_1 + n^2 Z_L}{R_1} } V_{in} \\
\end{eqnarray}

$n$を小さくすれば、負荷抵抗$Z_L$の影響を少なく、安定した電源供給を行うことができるということを示しています。つまり、できれば1次側の巻数を多くして、1次側に与える電圧を高めに設定するのがよいということです。

中周波の範囲が狭くなりすぎないように以下のことに気をつけることが必要である。

Lpが低いと中域の始まる周波数が高くなりすぎる
Csが大きいと高域の始まる周波数が小さくなりすぎる

自作コイルで検証

まず、鉄心なしコイル1

直流抵抗5.4Ω= 14.6dB
インダクタンス0.0011H

鉄心ありコイル1

鉄心のありなしで影響はほぼないといえる。

原因は全くわからない。透磁率が100倍になるのでインダクタンスも100倍になるはずだが・・・
鉄心の形状が棒でループになっていないためだろうか・・・

コイル2

100~1kHzで折れている
直流抵抗は0.8Ω,-4dBとなっている。
インダクタンスは2.2*10^(-4)Hと推定される。

自作トランス

鉄心なし

一次側に自作コイル2,二次側に自作コイル1を使っている。

1kHz以下では、電圧の伝達がほとんど行われていない。
これは、1kHz以下ではコイルのインピーダンスが小さいので直流抵抗メインの負荷で伝達されずに熱に変換されているためだろう。
最終的な伝達ゲインは、最大2.46dB

二次側コイルに負荷抵抗を付与

二次側の負荷抵抗によって10kHz以上の高周波の影響が見れます。100Ωの負荷を与えた場合の影響が大きいです。
こうしてみるとわずかに鉄心を入れたことの影響が低周波に出ています。インダクタンスの増加による部分でしょう。

一次側の巻数は51回
二次側の巻数は89回
単純に考えれば、89/51倍 = 4.84dBとなる
実際には、1.5~2dBとなっている。

平坦部のゲインは2dBより、結合係数kは0.563となります。
負荷抵抗100Ωより、計算上11kHzでカットする。実際20kHzでカットしている。
負荷5kΩなら、計算上549Hzでカットすることになる。

R1＝0.8、L1由来で500Hz付近でカットしている。

わかったこと

棒鉄心による効果は限りなく小さい。
結合係数は0.5程度になった。
負荷による出力低下もみられるが、そこまで大きくない。

一次側のコイルを動かしてみたが、動きによってかなりの変化が発生する。
コイルの位置関係がかなり重要である。

理想トランスで考察

より

がわかります。

V_{out} = n \frac{\frac{R}{n^2}}{R_1 + \frac{R}{n^2}} V_{in}

である。出力電圧$V_{out}$は負荷$R$によらず一定であってほしい
$R_1 << \frac{R}{n^2}$であれば

V_{out} \fallingdotseq nV_{in}

となる。つまり、

一次側の抵抗$R_1$を小さくする
巻き線比$n$を小さくする（二次側巻き数<<一次側巻き数）

の二択となる。
一次側巻き数を増やすと、一次側の抵抗$R_1$は比例的に増加する、巻き線比$n$は二乗で効くので
基本的には、一次側をとにかくたくさん巻くことが重要ということになる。

nを増やしていくと必然的に、出力電圧が減少していくので、入力電圧を増やしていく必要もでてくる

#実用化
コイルの形状に由来する、結合係数は正直難しいので考えない。ここが一番重要かもしれないが・・・
よくある円形平板で考えてみる

インダクタンス$L$は
巻数$N$、コイル幅$L$、断面積$S$,透磁率$\mu$より

L \propto \mu \frac{N^2 S}{L}

である。

電圧は、方形波を入れることにする。Sin波の方がいいかもしれないが、アナログで高電流制御は難しく感じたためである。

L298NのHブリッジ回路を用いて、方形波を入力することにした。

##結果

方形波で全く問題ないことが分かった。二次側負荷がなければ、LC共振で減衰振動＋方形波という感じである
負荷をつなげば、ほとんどLC共振は現れない。

図は二次側電圧計測結果（20V100kHz入力）。

一次側電圧（12V100kHz入力）
一次側が方形波じゃない？と思うかもしれないが、計測点はコイル両端計測で、Hブリッジ側に抵抗があるのでこうなります。

Arduinoでは100kHz生成に難がありました。
画像では、ファンクションジェネレータで生成したものを使いました。

###オペアンプのスルーレートについて
関係ないんですが、

赤線：入力方形波、青線：LM358Nで作ったボルテージフォロワを通した結果

のように、100kHzでオペアンプは信号に追従できなくなります。
これはスルーレートによって決まるらしいです。
LM358Nは0.6V/usらしいので、5V変化するのに8μsかかるみたいです。
かなり遅いですね。こういう用途で使いたいなら、高速オペアンプを使用する必要があるみたいです。
おもしろいですね。

高速の発信回路をオペアンプで作るには、高速のオペアンプを使用する必要がありそうです。

あと、ファンクションジェネレータの出力が12Vで分圧したんですが、分圧の抵抗が大きいと寄生容量（テスターの？）があり天然のLPFとなって失敗しました。

###発信回路
ファンクションジェネレータは常用できないので、100k~1MHzの発信回路を考えます。

を参考に、74HC14による発信回路を使いました。
74AC14P
R=1.2kΩ
Rs=5.1kΩ
C=1.0nF(102)

とした結果