目的
以下の動画・本で解説されている内容を自分なりにまとめました。
電力系統7章
電験2種のために、勉強中です。
正直、動画の解説以上にわかりやすく説明はできていないと思いますが、自己満足です。
同期安定性とは
同期安定性とは、同期発電機の電圧・周波数の安定性をいいます。
この安定性を正しく設計しないと急な出力変化によって、脱調・乱調が発生してしまいます。
安定性について以下2つに分類されます。
- 過度安定性 → 事故が起きたときの急変、非線形
- 小撹乱同期安定性・定態安定性 → 微小負荷変動などを微小変動とみなして、線形化した微分方程式的安定性
本質的なイメージ
事故のイメージは次です。
- 短絡故障発生
- 即時負荷遮断
- 発電機負荷低減
- 発電機回転速度増加
- 同期速度からずれる
- 出力増加
- 更に同期からズレて最終的に脱調
同期発電機の電気モデル
出力有効電力$P_e$は以下のように求められる。
\begin{eqnarray}
P_e &=& E_s I cos\theta\\
&=& \frac{E_s E_g}{X} sin \delta
\end{eqnarray}
内部起電圧・出力電圧は不変とみなして（内部起電圧は界磁電流と回転速度で決まる。回転速度はほぼ一定と考えられるので）
同期発電機の機械モデル
\begin{eqnarray}
J \omega \frac{d \omega}{dt} = P
\end{eqnarray}
ここで、以下のように置くと以下の関係がある。
- 入力機械エネルギーを$P_m$
- 損失エネルギーを$P_l$
- 出力電気エネルギー$P_e$
- 発電機に蓄えられるエネルギー$P$
\begin{eqnarray}
P = P_m - P_e - P_l
\end{eqnarray}
負荷角の時間変化と角速度の時間変化の関係について
負荷角は負荷によって決まる。「出力$E_s$」と「電動機$E_g$」の位相差である。
ここで電動機の位相は回転子の位置が決定する。無負荷時の電圧位相は電機子位置で決定することを思い出してほしい。
次に電圧sin波を想定して、負荷角が変化したときの状況を想定する。
通常時は時刻$dt$の間に位相は$\omega_n dt$だけ変化するが、
負荷角$d\delta$も同時に変化した場合、位相の変化量が増加する$\omega_n dt + d\delta$。つまり角速度が一時的に増加する。
\begin{eqnarray}
\omega &=& w_n + \frac{d \delta}{dt}\\
\end{eqnarray}
もう一回微分すると
\begin{eqnarray}
\frac{d \omega}{dt} &=& \frac{d^2 \delta}{dt^2}
\end{eqnarray}
単位法に直すと
\begin{eqnarray}
\frac{d \omega_{p.u.}}{dt} &=& \frac{1}{\omega_n}\frac{d^2 \delta}{dt^2}
\end{eqnarray}
負荷角は出力電圧位相が同期インピーダンスによってずれる現象であるが、実質的に電圧角速度を一時的に増減させているということが重要な着目点である。
ちょっと自分がつまずいたのが、角速度の増減が負荷角によるわけないと思った点だ。
前述の考察で回転子の角速度を$\omega$としている。上の数式は、負荷角が増加すれば回転子の回転が早くなると行っている。
ただ、これは原因と結果が逆になっている。回転子の速度は出力エネルギーと運動方程式で決定する。
負荷角の変化は回転子の速度変化による。負荷角が変わると出力エネルギーが変わる。
これらが同時に変化して変数が決定されるのだ。角速度の変化を負荷角とみなしているだけで、原因と結果でつながっていない。
負荷角と電力の関係
\begin{eqnarray}
J \omega \frac{d \omega}{dt} = P
\end{eqnarray}
を変形する。定格角速度$\omega_n$,定格出力$P_n$を使って、単位法$p.u.$(per unit)での式に変更する。
\begin{eqnarray}
\frac{J}{P_n} \omega \frac{d \omega}{dt} &=& \frac{P }{P_n}\\
\therefore \frac{J \omega_n^2}{P_n} \frac{\omega}{\omega_n^2} \frac{d \omega}{dt} &=& \frac{P }{P_n}\\
\therefore \frac{J \omega_n^2}{P_n} \frac{\omega}{\omega_n^2} \omega_n \frac{d \frac{\omega}{\omega_n}}{dt} &=& \frac{P }{P_n}\\
\therefore \frac{J \omega_n^2}{P_n} \omega_{p.u.}\frac{d \omega_{p.u.}}{dt} &=&P_{p.u.}\\
\therefore M \omega_{p.u.}\frac{d \omega_{p.u.}}{dt} &=&P_{p.u.}\\
\end{eqnarray}
以下のように、定数を新しく置いた
\begin{eqnarray}
M = \frac{J \omega_n^2}{P_n}
\end{eqnarray}
負荷角の時間変化と角速度の時間変化の関係式を代入して、
\begin{eqnarray}
M \frac{\omega_{p.u.}}{\omega_n}\frac{d^2 \delta}{dt^2} &=&P_{p.u.}\\
\end{eqnarray}
$P$は回転子に加わるエネルギーとして、回転子を加速させた。
$P_m$を回転子を風力とかで回転させようとして加えられるエネルギーとする。
$P_e$を回転エネルギーを電力として取り出して、出力される電力エネルギーとする。
損失エネルギーはないとする（あるとしても一定として$P_m$から引く）。
\begin{eqnarray}
P &=& P_m - P_e
\end{eqnarray}
以上の関係がある。よって、
\begin{eqnarray}
M \frac{\omega_{p.u.}}{\omega_n}\frac{d^2 \delta}{dt^2} &=&P_{mp.u.} - P_{e p.u.}\\
\end{eqnarray}
P,δグラフ
事故による変化
事故前→Ⅰ
事故直後→X最小→Ⅱ
事故から回復→X中ぐらい→Ⅲ
こんな感じで移動する
当面積法
\begin{eqnarray}
M \frac{\omega_{p.u.}}{\omega_n}\frac{d^2 \delta}{dt^2} &=&P_{p.u.}\\
\end{eqnarray}
を変形
\begin{eqnarray}
M \frac{\omega_{p.u.}}{\omega_n}\frac{d^2 \delta}{dt^2} \frac{d \delta}{dt} &=&P_{p.u.}\frac{d \delta}{dt}\\
\therefore M \frac{\omega_{p.u.}}{\omega_n} \frac{d}{dt}(\frac{d \delta}{dt})^2
&=&P_{p.u.}\frac{d \delta}{dt}\\
\end{eqnarray}
区間積分する。区間開始点は$\frac{d \delta}{dt}= 0$になる。なぜならば、開始は安定点、終点は負荷角が減少に切り替わる点であるためである。
\begin{eqnarray}
\int M \frac{\omega_{p.u.}}{\omega_n}\frac{d}{dt}(\frac{d \delta}{dt})^2 dt
&=& \int P_{p.u.}\frac{d \delta}{dt} dt\\
\therefore
M \frac{\omega_{p.u.}}{\omega_n} [(\frac{d \delta}{dt})^2 ]^{end}_{start}
&=& \int P_{p.u.} d\delta \\
\therefore
0&=& \int P_{p.u.} d\delta \\
\end{eqnarray}
よって、P-δグラフを積分した結果は0になるのである！
\begin{eqnarray}
A_1 - A_2 = 0
\end{eqnarray}