目的
カイジクルーンの曲面形状を数式で求め、dxfデータに変換する。
曲面形状設計
目的
- 玉の回転半径を時刻に比例して減少サせる
支配方程式
クルーン上をまわる玉の断面
玉自体の回転を無視すると
N cos \theta=mg \\
\tan \theta = \frac{df}{dr}\\
となる。
遠心力と釣り合うと考えると
mr \omega^2 = Nsin \theta\\
=mg tan\theta\\
=mg\frac{df}{dr}\\
よって
r = \frac{g}{\omega^2} \frac{df}{dr}
となる。
v=r \omega
で速度は空気粘性によって、$ma=-cv$を解いて
v= A exp(-\frac{c}{m} t)
とすると（Aは初速によって決定する。クルーンに最大半径があるため、最大値が存在する）、
\omega = v/r = \frac{A}{r} exp(-\frac{c}{m} t)
r = \frac{g}{\omega^2} \frac{df}{dr} = g \frac{df}{dr} \frac{r^2}{A^2} exp(2\frac{c}{m} t)
よって
r = \frac{A^2}{g} exp(-2\frac{c}{m} t) \frac{df}{dr}^{-1}
となる。
傾きが一定の場合
傾きが一定の場合は回転半径は指数関数的に減少する。
一方で指数関数の乗数は$-\frac{2c}{m} t$ 物性値で定まる。
Aを求める
\begin{eqnarray}
mr_{max} \omega^2 =mg \frac{df}{dr}_{r_{max}}\\
\omega = \sqrt{ \frac{g}{r_{max}} \frac{df}{dr}_{r_{max}} }\\
v = r_{max} w\\
=\sqrt{ g r_{max} \frac{df}{dr}_{r_{max}} }\\
\therefore A = \sqrt{ g r_{max} \frac{df}{dr}_{r_{max}} }
\end{eqnarray}
改行機能してないのきつい
代入すると、まぁまぁ示唆的だね。
当たり前だけど、最大径での傾きは初速の狙い値から逆算して
\frac{df}{dr}_{r_{max}} = \frac{1}{g} \frac{v_0^2}{r_{max}}
で与えるべきである。
傾きを指数関数的に
\frac{df}{dr} = exp(-\frac{2c}{m} kt)
とすると、
r=\frac{A^2}{g}exp(-\frac{2c}{m} t(1-k))
$k<1$では回転半径rは指数関数的に減少する。
$k>1$では回転半径rは指数関数的に増加する。
傾きは時間立つことにゆるくなる vs 球の速度は指数関数的に遅くなり、遠心力が小さくなる
の戦いのため、起きる現象である。
回転半径が大きくなりながら傾きをゆるくする＝どんどん平らになるということ。
そういう状態を狙うわけではないので$k<1$で考える。
\frac{df}{dr} = (\frac{gr}{A^2})^{\frac{k}{1-k}}
よって
f=B r^{\frac{1}{1-k}}
つまり、半径の累乗を曲面の高さにすれば、玉の回転半径の減衰の仕方も変わるということである。
dxfデータの作成
以前書いた記事を参考にする。
rを動かしながら(r,f(r))の点を計算して、dxf多角形セクションに追加する。
今後書く
またクソ記事を書いてしまった