概要
タイトル通りです
こちらに、理想トランスの基本が乗っています。
e_1 i_1 = e_2 i_2
となる理由を説明します。
証明
\begin{eqnarray}
V_{1} = L_1 \frac{di_1}{dt} + kL_{12} \frac{di_2}{dt}\\
V_{2} = L_2 \frac{di_2}{dt} + kL_{12} \frac{di_1}{dt}\\
\end{eqnarray}
となる。
理想トランスの場合$k=1$
$V_{1}$に$i_1$
$V_{2}$に$i_2$
を掛ける
\begin{eqnarray}
V_{1}i_1 = L_1 \frac{di_1}{dt}i_1 + kL_{12} \frac{di_2}{dt}i_1\\
V_{2}i_2 = L_2 \frac{di_2}{dt}i_2 + kL_{12} \frac{di_1}{dt}i_2\\
\end{eqnarray}
ここで、$i_1,i_2$は$sin$波であると考える。その場合
\begin{eqnarray}
\frac{di_1}{dt}i_1 = A^2 cos(wt) sin(wt)\\
\frac{di_2}{dt}i_2 = A^2 cos(wt) sin(wt)\\
\frac{di_1}{dt}i_2 = A^2 cos(wt)^2 \\
\frac{di_2}{dt}i_1 = A^2 cos(wt)^2 \\
\end{eqnarray}
といえる。交流の電力を考える場合、周期$T$で積分する。この際
\begin{eqnarray}
cos \times sin = 0\\
cos \times cos = \frac{1}{2}T
\end{eqnarray}
になることを覚えているだろうか
このことを使うと
\begin{eqnarray}
\frac{di_1}{dt}i_1 = A^2 cos(wt) sin(wt) -> 0\\
\frac{di_2}{dt}i_2 = A^2 cos(wt) sin(wt) -> 0\\
\frac{di_1}{dt}i_2 = A^2 cos(wt)^2 -> \frac{A^2}{2}\\
\frac{di_2}{dt}i_1 = A^2 cos(wt)^2 -> \frac{A^2}{2}\\
\end{eqnarray}
となることがわかるだろう。
つまり
\frac{di_1}{dt}i_2 = \frac{di_2}{dt}i_1
もとの式に戻すと
V_{1}i_1 = V_{2}i_2
になるのである。
（追記）
「$i_1,i_2$は$sin$波であると考える。」としたが、$i_1,i_2$に位相差があれば成立しないのでは？
まとめ
二次側の電流は、一次側の$\frac{1}{n}$倍
二次側の電圧は、一次側のは$n$倍
一次側から見た時の負荷抵抗は$\frac{1}{n^2}$倍
証明
V_{1}i_1 = V_{2}i_2
より
\begin{eqnarray}
\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{i_2}{i_1} = \frac{1}{n}\\
(V = N \frac{d\Phi}{dt} は常に成立しているため)\\
\therefore i_2 = \frac{1}{n} i_1\\
\therefore V_{2} = n V_{1}\\
R= \frac{V_{2}}{i_2} = n^2 \frac{V_{1}}{i_1}\\
\end{eqnarray}
一次側から見た時の負荷抵抗というのは$ \frac{V_{1}}{i_1}$のことなので
\frac{V_{1}}{i_1} = \frac{1}{n^2} R
となり、n二乗分の1になります。
例
一次側から見たとか、考えるときに引っ掛かったので、メモを残します
等価抵抗を求めて、電流電圧を計算し、元の回路に戻して、電流電圧に変換できます。