exp(x)の極限
\begin{eqnarray}
e^x = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{x}{n})^n
\end{eqnarray}
です。この式って結構覚えられないですよね。
\begin{eqnarray}
e = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{1}{n})^n
\end{eqnarray}
から、導出できます。
\begin{eqnarray}
e^2 &=& \lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{1}{n})^{2n}\\
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} ((1+ \frac{1}{n})^2)^{n}\\
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{2}{n} +\frac{1}{n^2})^{n}\\
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{2}{n} )^{n}\\
\end{eqnarray}
中身の累乗を計算すれば、$1$と$1/n$の2項以外は小さくなるので無視できます。
\begin{eqnarray}
e^x &=& \lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{1}{n})^{xn}\\
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} ((1+ \frac{1}{n})^x)^{n}\\
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{x}{n} +\frac{_x C_2}{n^2} + \cdots)^{n}\\
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{x}{n} )^{n}\\
\end{eqnarray}
証明できました（整数の場合のみ）。
こう考えると$exp(x)$の場合は$e$の中身に$x$をつければいいというのが頭で理解できます。
eの極限の覚え方
\begin{eqnarray}
e = \lim_{n \rightarrow \infty} (1+ \frac{1}{n})^n
\end{eqnarray}
この式も結構覚えられないですよね。ネイピア数の定義式なので、他の式から出すものではないですが、
次のやり方がいいかもしれません（定理から定義を出すウロボロスの極限）
\begin{eqnarray}
1 &=& \log e\\
更に\\
1&=& \lim_{n \rightarrow \infty} n \frac{1}{n}\\
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} n \log ( 1+ \frac{1}{n})\\
&=& \lim_{n \rightarrow \infty} \log ( 1+ \frac{1}{n})^n \\
右辺同士を比較して\\
\therefore e &=& \lim_{n \rightarrow \infty} ( 1+ \frac{1}{n})^n
\end{eqnarray}
1行目から2行目までは$\log(x)$の$x = 1$の傾きが$1$であることを使った。
ちょっとは覚えやすくなったらいいな・・・