報われないのは鐘のあと

時計ってすごくおもしろくて。
毎時1回は重なるようにできてるんですけど、11時台だけは重ならないの。11時台だけは短針が先に逃げ切っちゃって、ふたつの針って重ならないんですよ。
伝えたいメッセージが何かというと『鐘が鳴る前は報われない時間があるということ』

ここで感動した人は、科学的に考えるくせをつけた方がよいでしょう。鐘がなったのちの0時から1時までの間に、ふたつの針が重なることはありません¹。長針が短針に追いつくまでに要する時間は、約65分27秒だからです。この話でいうなら、鐘が鳴ったあとこそ報われないことになります。話を1時から始めているのがトリックです。

この計算は、算数で「旅人算」または「追越算」と呼ばれます。先に外出した弟の忘れ物を、兄が追いかけて渡そうとしたりするアレです(下はイメージ動画)。

英進館CM：「歩く男」

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分単位の近似値

算数としては、1時から12時まで場合分けして計算することになります。でも、面倒なので近似値をJavaScriptコードで求めてみましょう。知りたいのは時刻ですから、角度は使いません。長針が60分で1周するトラックを、短針の1周にかかる12時間で、長針はいつどこで追い越すか考えればよいのです。

for (let t = 0; t < 60 * 12; t += 0.1) {
    const hours = t / 12;
    const minutes = t % 60;
    if (Math.floor(hours * 10) === Math.floor(minutes * 10)) {
        console.log(Math.floor(hours / 5), Math.round(minutes));
    }
}

コンソールの出力はつぎのとおりです。分未満は丸めてあります。ひとつめの数字が時、ふたつめが分です。11時台は60分に追いつくとみなせます。

秒まで測ってみる

もう少し正確に、秒まで測ってみましょう。今度は、トラックを12時の単位で刻むことにします。時速は、長針が$12メモリ/h$、短針は$1メモリ/h$ということです。長針が$1:00$ちょうどから、初めて短針に重なるまでにかかる時間を$t$として、算数ですけど方程式を使わせてもらいます。1メモリ先にいる短針に、長針がいつ追いつくかです。

12t = 1 + t\\
t = \frac{1}{11}

よって、$0:00$から数えれば、長針が短針に追いつくのに要する時間は約$65.455$分となります²。

60 \times (1 + \frac{1}{11}) = \frac{60 \times 12}{11} \approx 65.455

時刻表示に直すのは、JavaScriptに任せましょう。Dateオブジェクトの日時メソッドは、引数に大きな値を渡すと、繰り上げて設定してくれます。ですから、ミリ秒に換算して加えました。

[追記: 2019/05/04] 以下のコードの計算精度を高めました。前の記述は、ご参考までにコメントアウトで残してあります。これにより、最後の出力がミリ秒の誤差を積算した11:59:59から改善されました。

const interval = 60 * 12 / 11;
// const time = new Date(2019, 4, 3);
for (let hours = 0; hours < 12; hours++) {
    const time = new Date(2019, 4, 3);  // 移動
    time.setMilliseconds(hours * interval * 60 * 1000);  // 修正
    console.log(time.toString().split(' ')[4]);
    // time.setMilliseconds(time.getMilliseconds() + interval * 60 * 1000);
}

00:00:00
01:05:27
02:10:54
03:16:21
04:21:49
05:27:16
06:32:43
07:38:10
08:43:38
09:49:05
10:54:32
12:00:00

いや、0:00に重なって始まっている、という指摘があろうことは承知です。この重なり合いが11時台と重複する、それをどちらにカウントするかで「報われない時間」は変わります。でも、0:00の鐘をスタートとするなら、重なりは始まりだということです。そうすると、10:54の鐘ではじまった時間が、0:00に静かに幕を閉じるとしなければなりません。重なりを終わりで数えるのであれば、0:00の鐘はスタートでなく、11:60の鐘で11時台を終えなければならないはずです。 ↩
$\frac{12}{11}$という分数は、12時間の11等分を意味します。つまり、ふたつの針が重なるのはその時刻だということです。 ↩

JavaScript: 時計の短針と長針はいつ重なるか

報われないのは鐘のあと

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分単位の近似値

秒まで測ってみる