あらすじ
制御工学の学習中に頻繁に出てくる、畳み込み積分。
matlabにも、関数「conv」として用意されている。
折角matlabが使用できる環境にあるので、matlabを
使用して畳み込み積分について学んでみる。
この記事でやること
- 畳み込み積分の基本及びその用途について記載
- 手計算で畳み込み積分を計算
- matlabを使用して畳み込み積分を計算
- ②と③の結果の突き合わせ
1-1. 畳み込み積分の基本 - 畳み込み積分って何？
合成積とも呼ばれる畳み込み積分は、関数 $f(x)$ と $g(x)$ が存在する時、以下式にて定義する。
$h(x) = \int_{-∞}^{∞} f(τ)g(x-τ)dτ = \int_{-∞}^{∞} f(x-τ)g(τ)dτ$
離散系で考える場合は畳み込み和と言い、以下式にて定義される。
h(m) = \sum f(n)g(m-n) = \sum f(m-n)g(n)
1-2. 畳み込み積分の用途 - 何のために使うの？
システムにデルタ関数を入力した場合のインパルス応答が分かる、という利点がある。
入力信号を $f(x)$、デルタ関数を $g(x)$ と定義すれば、畳み込み積分の結果 $h(x)$ がシステムの出力として表される。
離散系で考えれば、どんな信号もサンプリングタイムを幅とするインパルス（状）の信号の連続であるため、
畳み込み積分によってインパルス応答が分かるということは、あらゆる入力信号に対する出力信号が
「畳み込み」で分かる、ということになる。
2. 手計算で畳み込み積分を計算
$f(x)=sin(x)、g(x)=cos(x)$ として、
以下の畳み込み積分 を計算する。
h(τ) = \int_{0}^{3} sin(τ)cos(2-τ)dτ
[ 回答 ]
積和公式
$sin(α)cos(β) = \dfrac{1}{2} \{sin(α+β)+sin(α-β)\}$
を使用し、
\begin{align}
h(τ)&=\dfrac{1}{2}\int_{0}^{3} \{sin(2)-sin(2τ-2)\}dτ\\
\end{align}
とする。
$sin(2)$は定数なので$τ$で積分すれば単純に$τ$がつくだけ。
$sin(2τ-2)$ は $t=2τ-2$ として合成関数の積分公式
$\int t^{-1}dx = \dfrac{1}{n+1}・t^{n+1}・\dfrac{1}{t^{\prime}}+C$
を使用して
$\int sin(2τ-2)dτ={(cos(2τ-2))・\dfrac{1}{2}}$
とすると
\begin{align}
h(τ)&=\dfrac{1}{2}\left[τsin(2)-\dfrac{1}{2}\{cos(2τ-2)\}\right]^3_0\\
&=\dfrac{1}{2}\{3sin(2)-0sin(2)-\dfrac{1}{2}((cos(4)-cos(-2))\}\\
&=1.4233\\
\end{align}
3. matlabを使用して畳み込み積分を計算
% 条件
range = [0 3]; % 定積分の範囲
ts = 0.1; % サンプリングタイム
x = range(1):ts:range(2);
% ① 連続時間系
h = @(x) sin(x) .* cos(2 - x);
cans = integral(h, range(1), range(2)); % 連続時間系積分の解
% ② 離散時間系
f = sin(x);
g = cos(2 - x);
h = f .* g;
dans = sum(h) * ts; % 離散時間系積分の解
% 連続時間系と離散時間系の解の差分
err = abs(cans - dans);
答え（cans）は1.4233で、手計算での結果と一致した。
※ 離散時間系はついでで記述
ところで関数「conv」は？
結局、関数「conv」を使用せずに計算した。
関数convについて公式の説明を見てみたが、「畳み込みおよび多項式乗算」と
タイトルにあるように、厳密には畳み込み「積分」まではやってくれないらしい。
式：$\int_{-∞}^{∞} f(τ)g(x-τ)dτ$ のうち、$ f(τ) $ と $ g(x-τ)$ の乗算のみをやってくれる関数のようだ。
しかも無名関数として$sin(x)$などを宣言しても引数として使えず、スカラやベクトル（一次元配列）を
引数として使うしかない。
同じ長さの２つの配列の要素同士を演算をするためのものでもないため、
結局convを畳み込み積分に使用する方法が分からなかった。
（オマエが知らないだけで普通に使えるわ！という声が聞こえてきそうだ）
もしかするとSymbolic math toolboxがあればうまく活用できたのかもしれないが、
持ってないため試すことができなかった。残念。。
参考にさせていただいた情報
大変お世話になりました。誠にありがとうございます。
[ネット]
| 内容 | リンク先 |
|---|---|
| 畳み込み積分の用途 | http://zellij.hatenablog.com/entry/20110924/p1 |
| 同上 | https://www.noe.co.jp/technology/18/18inv1.html |
| 置換積分 | https://yorikuwa.com/m3402/ |
最後に
ここはこうしたほうがいいぞ！ここ間違っているぞ！等もしございましたら、
お手数ですがご指摘いただけますとそれはもう大変喜びます。