【プログラマーのための数学】単位行列と逆行列

単位行列とは

正方行列のうち、右下がりの対角線上にある成分がすべて1で、残りの成分がすべて0であるものを単位行列といいます。下図は、それぞれ2次と3次の単位行列です。

また、単位行列は、任意のn次正方行列Aに対して、右から掛けても左から掛けてもAとなります。
Eが単位行列だとすると、下記が成り立ちます。

AE=A
EA=A

下記は、単位行列の例です。

出典：www.geisya.or.jp

これは2次行列の例ですが、3次でも同様です。

与えられたn次の正方行列Aに対して、右から掛けても左から掛けても、解が単位行列となるような行列をAの逆行列と呼び、のように書きます。

Eが単位行列だとすると、下記が成り立ちます。

下記は、逆行列の例です。

上図のようなAという正方行列があるとき、の逆行列となります。
これは2次行列の例ですが、3次でも同様です。
また、逆行列は正方行列に対してのみ定義可能で、正方行列でない場合は、逆行列は存在しません。

逆行列が存在する行列は正則であるといいます。このような行列を正則行列と呼び、下記のように表します。

det(A)≠0