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【プログラマーのための数学】単位行列と逆行列

目次

プログラマーのための数学 - 目次

単位行列とは

正方行列のうち、右下がりの対角線上にある成分がすべて1で、残りの成分がすべて0であるものを単位行列といいます。下図は、それぞれ2次と3次の単位行列です。

det_s_001.gif det_s_002.gif
出典:weblio.jp

また、単位行列は、任意のn次正方行列Aに対して、右から掛けても左から掛けてもAとなります。
Eが単位行列だとすると、下記が成り立ちます。

AE=A
EA=A 

下記は、単位行列の例です。
det_s_007.png
出典:www.geisya.or.jp

これは2次行列の例ですが、3次でも同様です。

逆行列とは

与えられたn次の正方行列Aに対して、右から掛けても左から掛けても、解が単位行列となるような行列をAの逆行列と呼び、det_s_004.pngのように書きます。

Eが単位行列だとすると、下記が成り立ちます。
det_s_005.png

下記は、逆行列の例です。

det_s_006.png
出典:www.geisya.or.jp

上図のようなAという正方行列があるとき、det_s_003.pngの逆行列となります。
これは2次行列の例ですが、3次でも同様です。
また、逆行列は正方行列に対してのみ定義可能で、正方行列でない場合は、逆行列は存在しません。

正則

逆行列が存在する行列は正則であるといいます。このような行列を正則行列と呼び、下記のように表します。

det(A)≠0

[参考]
www.geisya.or.jp
weblio.jp

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