二次方程式の解の公式

はじめに

二次方程式の解の公式の導き方を忘れかけていたのでメモ

二次方程式

$x$に関する方程式

ax^2+bx+c=0\tag{1}

ただし

a\ne0\tag{2}

を二次方程式という．

解の公式の導出

$(2)$より，$(1)$の両辺を$a$で割れるので，

x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0\tag{3}

ここで，

\begin{align}
d&=\frac{b}{a}\tag{4}\\
e&=\frac{c}{a}\tag{5}
\end{align}

とすることで，

x^2+dx+e=0\tag{6}

となり，二次の係数が消える．
次に，ある数$f$を用いて

\begin{align}
y&=x+f\tag{7}\\
g&=y^2\tag{8}
\end{align}

とすると，

\begin{align}
y^2-g&=0\\
(x+f)^2-g&=0\\
x^2+2fx+f^2-g&=0\tag{9}
\end{align}

$(6)$と$(9)$の各係数が等しいとすると，

\begin{align}
d&=2f\tag{10}\\
e&=f^2-g\tag{11}
\end{align}

$(10)$より，

f=\frac{d}{2}\tag{12}

これと$(4)$より，

\begin{align}
f&=\frac{d}{2}\\
&=\frac{b}{2a}\tag{13}
\end{align}

また，$(11)$より，

g=f^2-e\tag{14}

これと$(13)$より，

\begin{align}
g&=f^2-e\\
&=\left(\frac{b}{2a}\right)^2-e\\
&=\frac{b^2}{4a^2}-e\tag{15}\\
\end{align}

これと$(5)$より，

\begin{align}
g&=\frac{b^2}{4a^2}-e\\
&=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}\\
&=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\tag{16}
\end{align}

ここで，$(8)$を$y$について解くと，

y=\pm\sqrt{g}\tag{17}

これと$(16)$より，

\begin{align}
y&=\pm\sqrt{g}\\
&=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}\\
&=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\tag{18}
\end{align}

これと$(7)$より，

\begin{align}
x+f&=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
x&=-f\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\tag{19}
\end{align}

これと$(13)$より，

\begin{align}
x&=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\
&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{align}

終わり