前回の続きです．設定やNotationなどはそのまま引き継ぎますので，前回の記事をご覧になっていない方は，まずそちらをご覧くださいませ．
示したいこと
証明したいのは，
$$ \mathbb{E}[X|W] = \int_\mathbb{R} xf_{X|W}(x|w) \,dx $$
という関係式でした．以下この関係式を示します．
証明
条件付き期待値$\mathbb{E}[X|W]$は，その定義により$\sigma[W]$可測なので，あるBorel可測関数$\theta:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$があって，
$$ \mathbb{E}[X|W] = \theta(W) $$
と書けています．そこで，この関数$\theta$の具体的な形を以下で求めます．
Step 1
最初に，すべての有界Borel可測関数$g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$に対して，
$$ \mathbb{E}[X g(W)] = \mathbb{E}[\theta(W)g(W)] $$
が成立することを示しましょう．実際，$g$が定義関数のときは，上式は条件付き期待値の定義に他なりません．また，$g$が階段関数のときも期待値の線形性からO.K.なことが分かります．さらに，極限議論をすれば，結局すべての有界なBorel可測関数$g$に対して上の式が成立することが従います．
Step 2
次に，Step 1でわかったことを密度関数の言葉で書いてみます．密度関数の定義から，
$$ \int_{\mathbb{R}^2} dx\,dw\, xg(w)f(x,w) = \int_{\mathbb{R}}dw\, \theta(w) g(w) f_W(w). $$
Fubiniの定理からこの左辺は
$$ \int_\mathbb{R} dw\,g(w) \int_{\mathbb{R}}dx\, xf(x,w) $$
に等しいので，結局，すべての有界可測関数$g$に対して
$$ \int_\mathbb{R} dw\,g(w) \int_{\mathbb{R}}dx\, xf(x,w) = \int_{\mathbb{R}}dw\, g(w)\theta(w) f_W(w)$$
が成立することになります．よって，変分法の基本補題から，Lebesgue測度についてほとんどすべての$w\in\mathbb{R}$に対して
$$ \int_\mathbb{R} dx\,xf(w, w) = \theta(w) f_W(w) . $$
特に，$f_W(w)>0$なる$w\in\mathbb{R}$に対して
$$ \theta(w) = \int_\mathbb{R} x\frac{f(x,w)}{f_W(w)}= \int_\mathbb{R} x f_{X|W}(x|w). $$
これが欲しい式でしたので，証明おしまいです．