（1変数の）テイラーの定理とは？

$n$ を1以上の自然数とする．
区間 $[a,x]$ で $n$ 回微分可能な関数 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ に対して，
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+R_n(x)
$$
によって $R_n(x)$ を定義するとき，
$$
R_n(x)=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-a)^n
$$
となる $\xi\in(a,x)$ が存在する．$R_n(x)$をラグランジュ（Lagrange）の剰余項という．

この記事を書こうと思った動機

多くの教科書では，テイラー（Taylor）の定理の証明の際，$R_n(x)=A(x-a)^n~~(A: 定数)$ を仮定し，ロル（Rolle）の定理を用いて $A=\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}$ を導く方針をとっています．

$R_n(x)=A(x-a)^n$ と仮定することは，「任意の関数 $f$ は多項式で展開できる」ことを前提にしていますが，この前提は一体どこから来たのだろう？とずっと疑問に思っていました．（自分が無知なだけで，このことを知っている方がいましたら教えてください．それとも自明でしょうか？）

「任意の関数 $f$ は多項式で展開できる」ことはテイラーの定理の結論であるので，証明の際にこれを前提にはできません．

以上のことを疑問に思い，「任意の関数 $f$ は多項式で展開できる」ことを仮定しないで証明をしました．しかも，世界で最も簡単に証明しました（冗談ではなく，割と本気でそう思っています．少なくとも自分が知る中で一番簡単です）．

現在，大学で勉強中の方や，自分のように社会人になってから大学数学を勉強し直している方の助けになれば幸いです．

前提知識

以下の知識のみで理解できるように証明しました：

高校数学（の微分）
コーシー（Cauchy）の平均値定理

コーシーの平均値定理は以下に記しておきます．

コーシーの平均値定理

関数 $f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R},g\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ が区間 $[a,b]$で連続，$(a,b)$ で微分可能で，$g(a)\neq g(b)$ かつ $f'$ と $g'$ は区間 $(a,b)$ で同時に $0$ とならないとする．このとき
$$
\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}
$$
となる $\xi\in(a,b)$ が存在する．

（1変数の）テイラーの定理の証明

関数 $F(t),G(t)$ を次のように定義する：

\begin{align}
    F(t)    & :=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k,   \\
    G(t)    & :=(x-t)^n
\end{align}

$F(t)$ の定義より，

\begin{align}
    F'(t)
    & =\frac{d}{dt}\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k \\
    & =\frac{d}{dt}\left(f(t)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{f^{(k)}(t)}{k!}(x-t)^k\right)   \\
    & =f'(t)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k!}\frac{d}{dt}\left(f^{(k)}(t)\cdot(x-t)^k\right)    \\
    & =f'(t)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k!}\left(f^{(k+1)}(t)\cdot(x-t)^k-f^{(k)}(t)\cdot k(x-t)^{k-1}\right) \\
    & =f'(t)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k
        -\sum_{k=1}^{n-1}\frac{f^{(k)}(t)}{(k-1)!}(x-t)^{k-1}   \\
    & =f'(t)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k
        -\sum_{k=0}^{n-2}\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k \\
    & =f'(t)+\left(\sum_{k=1}^{n-2}\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k+\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x-t)^{n-1}\right)
        -\left(f'(t)+\sum_{k=1}^{n-2}\frac{f^{(k+1)}(t)}{k!}(x-t)^k\right)  \\
    & =\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x-t)^{n-1}
\end{align}

すなわち
$$
F'(t)=\frac{f^{(n)}(t)}{(n-1)!}(x-t)^{n-1}
$$
である．次に $G(t)$ の定義より，
$$
G'(t)=\frac{d}{dt}G(t)=-n(x-t)^{n-1}
$$
である．

関数 $F,G$ は区間 $[a,b]$ で連続，区間 $(a,x)$ で微分可能で $G(x)\neq G(a)$ かつ $F'$ と $G'$ は区間 $(a,x)$ で同時に $0$ とならならので，コーシーの平均値定理より，
$$
\frac{F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}=\frac{F'(\xi)}{G'(\xi)}
$$
を満たす $\xi\in(a,x)$ が存在する．したがって，$R_n(x)$ の定義より，

\begin{align}
    R_n(x)
    & =f(x)-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k\\
    & =F(x)-F(a)    \\
    & =F'(\xi)\cdot\frac{G(x)-G(a)}{G'(\xi)}\\
    & =\frac{f^{(n)}(\xi)\cdot(x-\xi)^{n-1}}{(n-1)!}\cdot\frac{-(x-a)^n}{-n(x-\xi)^{n-1}}\\
    & =\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x-a)^n
\end{align}

以上より，（1変数の）テイラーの定理が成り立つ．

最後に

この証明ではラグランジュの剰余項 $R_n(x)$ に何の仮定もせず，$R_n(x)$ の定義だけで具体形を導出できました．

これで自分の疑問が解決されました（もし間違いがありましたら，ご指摘お願いします）．

ちなみに，解析入門 I（杉浦光夫著）でも $R_n(x)$ に何も仮定せずに証明していますが，この証明よりもかなり難しく書かれています．