はじめに
ハトです。最近ChatGPTに課金しまして。
法律系の勉強するときに、法律の文言だけ読んでもよくわからないのですが、GPTに聞くと具体的なシナリオ教えてくれるからめちゃくちゃ便利なんですよね。
今回はそんなGPTさんに可換環論の基礎レベルの命題の証明をしてもらいました。
可換環を素イデアルで割ると整域になる
素イデアルで割ると整域になることの証明をしてください。
GPTさんの回答を貼ると、/inとか\bar{a}とかをうまく表せないのでやむなく画像添付。
さて証明はというと。。。
完璧でパーフェクト
文句なしです。細かいことを言えば、環が非可換である場合に言及してほしいですが。。。（非可換環の場合は素環になるそうです）
筆者にとって環は可換なのでﾖｼ!
そもそも質問の仕方が悪いですね〜。
可換環を素イデアルで割るとも言ってないですし。
GPTさんには、いい感じに行間も読んでもらっているので、流石です。
可換環を極大イデアルで割ると体になる
極大イデアルで割ると体になることを示してください。
大正解!!
すごいですね、記述もシンプルですし
あと大学時代こういうふうに見出しをつけた書き方をしたことがなかったですが、これがあるとみやすいですね！！
もっと早く知っておけばよかった
極大イデアルをMと書くセンスは疑いますが…
中山の補題
さて来ました、中山の補題。
これまでなんどこの補題を使ってきたことか。
いざ....!!
中山の補題を証明してください。
うーん、雰囲気はあってそうなのですが。
そもそも主張から怪しい。
証明でもdet(I_n-B)=1+aと書けるが正しいですね
ということで追撃
なぜdet(I_n-B)=aとかけるのですか
もはや日本語も崩壊しましたね...
4.においてはもはやm_1,m_2,...,m_nのことをベクトルと言っていますし、M=0をなる理由も曖昧です（行列式が単元である場合、M=0となること自体は正しいですが...）
単元でない場合の主張はもはやなぜその記述をしたのか聞きたいくらいです。
とは言えGPTさんの実力は大体わかりました。これ以上追及してもハラスメントになるだけです。
助け舟を出しましょう。
GPTさんの主張の特別な場合ですが、Iが極大イデアルの時の主張をしています。残念ながら1-aは単元になりません(Zの極大イデアル3Zを考えるとわかる)
複数の極大イデアルが存在するということが悪さしているんですね。
とは言え、着眼点としては悪くないです。
こちらの特別な場合について聞けば答えられそうですかね？
それだけだと変な方向に進むかもしれないので、局所環というヒントもつけて証明できるか見てみましょうか
特別な場合についてですが主張が不正確です。整数環Zと極大イデアル3Zを考えるとわかります。
環Aに局所環、イデアルIに極大イデアルという条件をつけてあらためて証明してください。
合格ですかね！
ちょっと過保護だったかもしれません...
なお証明に入る前の、指摘に対する応答は、（よく理解できてないけど、ここを深掘りされるとボロが出るので次の話題にいってほしいから）「わかりました！」と言っている学生みたいですね（自分のこと）
感想
色々いじってみたんですが、まだ怪しいところはありますね。
中山の補題の主張は軽くググっても主張の仕方が異なるものがたくさんあります（本質的に言わんとすることは同じだが）。
そういうのが一発で証明できたものとの違いの一つかなぁと。
これは人間にも似てそうですね。
勉強していてよくわからなかったので別の参考書を見たら、同じ定理なのに主張のされ方が違うと混乱するとか。
GPTが指摘される度に少しずつ直していく（結局は大きなヒントを与えないと直らない）様子は、学生時代の自分を見ているような気分でした。