前提
概要
ニュートン法による方程式の解の近似的解法は1次テイラー展開から導出される手法です。当記事では$f(x)$と$f(x+h)$のテイラー展開に基づく1変数のニュートン法について確認を行いました。
1変数のテイラー展開
点$x=a$を中心とする$f(x)$の1次テイラー展開は下記のような数式で表されます。
f(x) \simeq \frac{f(a)}{0!} + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) \qquad (1)
同様に点$x$を中心とする$f(x+h)$の1次テイラー展開は下記のような数式で表されます。
f(x+h) \simeq \frac{f(x)}{0!} + \frac{f'(x)}{1!}h \qquad (2)
1変数のニュートン法
$f(x)$のテイラー展開に基づくニュートン法
$(1)$式について$(式の右辺)=0$を$x$について解き、$x$を$x_{n+1}$、$a$を$x_{n}$で置き換えることで1変数のニュートン法を導出することができます。まず$(式の右辺)=0$は下記のように解くことができます。
\begin{align}
\frac{f(a)}{0!} + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) &= 0 \\
x - a &= -\frac{f(a)}{f'(a)} \\
x &= a - \frac{f(a)}{f'(a)}
\end{align}
上記の$x$を$x_{n+1}$、$a$を$x_{n}$で置き換えると下記の式を得ることができます。
x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}
上記の式はニュートン法における漸化式に一致します。この式の解釈にあたっては、「点$(x_{n},f(x_{n}))$における$f(x)$の接線が$(x_{n+1},0)$を通る」ことを抑えておくと良いです。
$f(x+h)$のテイラー展開に基づくニュートン法
$(2)$式については下記のように解くことができます。
\begin{align}
\frac{f(x)}{0!} + \frac{f'(x)}{1!}h &= 0 \\
h &= -\frac{f(x)}{f'(x)}
\end{align}
上記の式の解釈にあたっては「点$(x,f(x))$における$f(x)$の接線が$y=0$となる点が$x+h$となる」と解釈すればよいです。よって、ニュートン法の漸化式は下記のように得ることができます。
h_{n+1} = h_{n} - \frac{f(x+h_{n})}{f'(x+h_{n})}