演算子の定義
nablaの定義
演算子$\nabla$は下記のように定義されます。
\nabla = \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k}
laplacianの定義
ラプラシアン演算子$\nabla \cdot \nabla$は下記のように定義されます。
\nabla \cdot \nabla = \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}
grad・div・rotの定義
gradの定義
多次元スカラー関数$\phi (x,y,z)$の勾配$\mathrm{grad} \phi$は下記のように定義されます。
\mathrm{grad} \, \phi = \nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial \phi}{\partial z} \mathbf{k}
divの定義
空間内のある領域に含まれる全ての点における関数を$V(x,y,z)$のように定義すると、このとき$V$のダイバージェンス(divergence)である$\mathrm{div} V$は下記のように定義されます。
\begin{align}
\mathrm{div} \, V &= \nabla \cdot V = \left( \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k} \right) \cdot (V_{1} \mathbf{i} + V_{2} \mathbf{j} + V_{3} \mathbf{k}) \\
&= \frac{\partial V_{1}}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial V_{2}}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial V_{3}}{\partial z} \mathbf{k}
\end{align}
rotの定義
空間内のある領域に含まれる全ての点における関数を$V(x,y,z)$のように定義すると、このとき$V$の回転(rotation)である$\mathrm{rot} V$は下記のように定義されます。
\begin{align}
\mathrm{rot} \, V &= \nabla \times V = \left( \frac{\partial}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z} \mathbf{k} \right) \times (V_{1} \mathbf{i} + V_{2} \mathbf{j} + V_{3} \mathbf{k}) \\
&= \left| \begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\ V_{1} & V_{2} & V_{3} \end{array} \right| \\
&= \mathbf{i} \left| \begin{array}{cc} \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\ V_{2} & V_{3} \end{array} \right| + \mathbf{j} \left| \begin{array}{cc} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial z} \\ V_{1} & V_{3} \end{array} \right| + \mathbf{k} \left| \begin{array}{cc} \displaystyle \frac{\partial}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial}{\partial y} \\ V_{1} & V_{2} \end{array} \right| \\
&= \mathbf{i} \left( \frac{\partial V_3}{\partial y} - \frac{\partial V_2}{\partial z} \right) - \mathbf{j} \left( \frac{\partial V_3}{\partial x} - \frac{\partial V_1}{\partial z} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\partial V_2}{\partial x} - \frac{\partial V_1}{\partial y} \right) \\
&= \mathbf{i} \left( \frac{\partial V_3}{\partial y} - \frac{\partial V_2}{\partial z} \right) + \mathbf{j} \left( \frac{\partial V_1}{\partial z} - \frac{\partial V_3}{\partial x} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{\partial V_2}{\partial x} - \frac{\partial V_1}{\partial y} \right)
\end{align}