というお話です。
いや、JDK11（OpenJDK）のリリースが2018年9月と2年も前やし、当たり前やろーっ！と思う人もいるかもしれませんが、、
製品によってはそうでない可能性もある（実際、AWSのElastic BeantalkがJava11に完全対応（GA）したのが2020年4月 - この記事を執筆した2020年9月時点の約5ヶ月前とわりと最近だった）ので、念のため調べてみました。
事の発端
事の発端となったのが公式サイトの以下のページ
The Java High Level REST Client requires Java 1.8 and depends on the Elasticsearch core project. ・・・
なぬ? Java1.8だと・・・?
今動かしている環境がJava11だったので、正直焦りました。
このページをさらに読み進めると、
The 6.0 client is able to communicate with any 6.x Elasticsearch node, while the 6.1 client is for sure able to communicate with 6.1, 6.2 and any later 6.x version, ・・・
とあり、バージョン6.0～6.2付近の時点のものであることが読み取れました。
現状使っているElasticsearchのバージョンは7.4.2（AWSのElasticsearch Serviceの使用開始時の最新バージョン：2020/07/23～は7.7に対応）なので、Java11対応しているかも?というわけでいざ、調査。
調査
まずたどりついたのが以下の記事。
現状、テスト中、的な。
2018年9月時点の内容ですからねぇ、さすがに大丈夫やろ、と思いたいところではありますが。
確証とれるまでは続けます。
さらに、調査を進めると、
より、2018年11月バージョン6.5.0よりJava11サポートとなっていることが確認できました。
（しかもありがたいことに日本語。）
けっこう早い段階で対応していたんですね。すごい！
「Oracleから」とあるのが若干気になりましたが、、使用しているElasticsearchの現バージョン（7.4.2）がJava11に対応していることは間違いない、とのことで一件落着～！
結論
Elasticsearch 6.5.0以降であればJava11に対応している、というのが結論です。
それ以前のバージョンをお使いの方でJava11環境使っている方、あるいは移行を考えている方は6.5.0以上へのアップグレードを検討したほうがよさそうですね。
参考
本文中では記載してませんが、参考にしたページたちです。