物性論におけるGreen関数とリゾルベント

　数学や電磁気学，数値解析の分野等でしばしばお目にかかるGreen関数と，物性物理学や素粒子物理学でのGreen関数は，見た目の定義がかなり異なっている．ここではこれらの間の関係について，最も簡単な例を挙げて述べる．前者でよく出てくる形は次のようなものである：
$$G(z):=\frac{1}{z-\mathcal{H}},\tag{1}$$ここで$z\in\mathbb{Z}, \Im z\neq 0$とする．$\mathcal{H}$は一般の線形演算子としても良いが，とりあえずハミルトニアンと思うことにして，
$$\mathcal{H}:=\sum_n \varepsilon_n c_n^\dagger c_n,$$としよう．ここで$c_n$または$c_n^\dagger$は1粒子状態$|n\rangle$を生成または消滅させる演算子である．ここではFermion演算子とする．すなわち，反交換関係：
$$[c_n,c_{n'}^\dagger]_+:=c_n c_{n'}^\dagger + c_{n'}^\dagger c_n\equiv \delta_{nn'},$$に従う．$\epsilon_n$は$|n\rangle$が属する固有エネルギである．
　一方，物性物理学での (1体) 遅延Green関数は次式のように導入される：
$$G^\mathrm{r}_n(t):=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\theta(t)\langle [c_n(t),c_n^\dagger]_+ \rangle,\tag{2}$$ここで$c_n(t):=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathcal{H} t/\hbar} c_n \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\mathcal{H} t/\hbar}$であり，逆温度$\beta$と化学ポテンシャル$\mu$を示す熱平衡状態における統計平均：
$$\langle\cdots\rangle:=\frac{1}{Z}\mathrm{Tr}\ \mathrm{e}^{-\beta(\mathcal{H}-\mu\mathcal{N})}\cdots,$$を定義した．また，
$$Z:=\mathrm{Tr}\ \mathrm{e}^{-\beta(\mathcal{H}-\mu\mathcal{N})},$$$$\mathcal{N}:=\sum_n c_n^\dagger c_n,$$である．(1)と(2)式の関係を調べたいということである．
　さて，ハミルトニアンは既に対角化されているから，
$$c_n(t)=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varepsilon_n t/\hbar}c_n,$$と計算される．この結果とFermion演算子の反交換関係から
$$G^\mathrm{r}_n(t)=-\frac{\mathrm{i}}{\hbar}\theta(t)\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\varepsilon_n t/\hbar},$$を得る．上式のFourier変換を求めてみよう．ただし，$t\to\infty$の振る舞いからわかるように，通常のFourier変換では収束しない．そこで，以下のように収束因子$\mathrm{e}^{\pm\delta t/\hbar}, \delta>0$を導入し，Fourier変換を$\delta$を無限小量とした佐藤超関数と見なすことにしよう：
$$G^\mathrm{r}_n(E):=\left(\int_{-\infty}^0\mathrm{d} t\mathrm{e}^{\mathrm{i}E t/\hbar}\mathrm{e}^{\delta t/\hbar}+\int_{0}^\infty\mathrm{d} t\mathrm{e}^{\mathrm{i}E t/\hbar}\mathrm{e}^{-\delta t/\hbar}\right) G^\mathrm{r}_n(t).$$これは簡単に計算できて
$$G^\mathrm{r}_n(E)=\frac{1}{E-\varepsilon_n+\mathrm{i}\delta},$$となる．したがって(1)と(2)式の間に次の関係を得る：
$$G^\mathrm{r}_n(E)=\Bigl\langle n\Bigr|\frac{1}{E-\mathcal{H}+\mathrm{i}\delta}\Bigl|n \Bigr\rangle=\langle n|G(E+\mathrm{i}\delta)|n\rangle.$$