概要
次の量：
$$\rho(E):=\frac{1}{\pi}\frac{W}{E^2+W^2},\tag{1}$$
に対して
$$G(z)=\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d}E\frac{\rho(E)}{z-E},\tag{2}$$
を計算しよう．$E\in\mathbb{R}$はエネルギ，$W>0$はパラメータ，$z\in\mathbb{C}, \Im z\neq 0$である．また，
$$\int_{-\infty}^\infty\mathrm{d} E\rho(E)=1,\tag{3}$$
となるように規格化されている．結果は，
$$G(z)=\frac{1}{z+\mathrm{i}W\mathrm{sgn}(\Im z)},\tag{4}$$
である．
導出
留数定理．