$\phantom{}$$
\newcommand\nr{\notag\\}%タグなし改行用
\newcommand\ret{\notag\\&\qquad}%数式改行用
\newcommand\I{\mathrm{i}}
\newcommand\D{\mathrm{d}}
\newcommand\E{\mathrm{e}}
\newcommand\hc{\mathrm{h.c.}}
\newcommand\cc{\mathrm{c.c.}}
\newcommand\O[1]{\mathscr{O}\left(#1\right)}
\newcommand\abs[1]{{\left\rvert #1 \right\lvert}}
\newcommand\Res{\mathop{\mathrm{Res}}}
\newcommand\bra[1]{\mathinner{\langle{#1}|}}
\newcommand\ket[1]{\mathinner{|{#1}\rangle}}
\newcommand\braket[1]{\mathinner{\langle{#1}\rangle}}
\newcommand\Bra[1]{\left\langle#1\right|}
\newcommand\Ket[1]{\left|#1\right\rangle}
\newcommand\Braket[1]{\left\langle #1 \right\rangle}
\newcommand|{\middle|}%\Braket用
\DeclareMathOperator{\Log}{Log}
\DeclareMathOperator{\Arg}{Arg}
\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
\DeclareMathOperator{\Tr}{Tr}
\newcommand\dashint{\mathchoice
{\int\kern-10pt-}
{\int\kern-8.5pt-}
{\int\kern-6.1pt-}
{\int\kern-4.58pt-}}
\newcommand\set[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand\for[1]{\quad\mathrm{for}\quad #1}
\newcommand\LHS{\mathrm{(LHS)}}
\newcommand\RHS{\mathrm{(RHS)}}
$

電気伝導を記述する有用な微視的理論として，
Landauer--Buttiker公式と久保公式の2大公式が挙げられる．
前者はコンダクタンスの評価に，
後者は電気伝導度 (コンダクティビティ) の評価に用いられる．
両者はモデルや電気伝導に対するアプローチが全く異なっているのだが，
細かいことは抜きにして大雑把に言うと以下のような相違が認識されていると思う．

コンダクタンスは物質固有の値 (バルク値，物性値) ではない．
というのも，物質と電極の界面状況に依存するからである．
接合系の電気伝導を記述する場合に有用であり，工学的に重要である．
メゾスコピック系分野でもよく使われる．

電気伝導度は物質固有の値である．
というのも，物質を記述するハミルトニアン$\mathcal{H}$だけで決まるからである．
しばしばその他の物性 (例えば熱伝導や磁気緩和) との比較検討がなされ，
学理的現場でよく現れる物理量である．
ここで，物質固有という言葉を使う場合，その語感から，扱いに注意を要する．
例えば，$\mathcal{H}$には不純物の効果も含んでいてもよく，
この点で注意を喚起する場合はしばしば「外因性」という用語が用いられる．
反意語は「内因性」である．

単に電気伝導度と言及した場合は暗に電場に対する線型応答とみなされる．
ここでは古典論や現象論についてあれこれ言及することはせず，
線型応答理論に基づく一般論だけを述べる．
すなわち，電気伝導度に対する久保公式を紹介する．

久保公式 (一般論)

ある物質中の粒子を記述するハミルトニアンを$\mathcal{H}$とし，
ある時刻$t_0$以前の時刻$t < t_0$において逆温度$\beta$，化学ポテンシャル$\mu$を示すリザバーとの間で
熱平衡状態を達成しているものとする．
また，バルク物性を研究対象とするために体積無限大の極限 (熱力学極限) だけを考える．
この状態を初期条件として，$t\ge t_0$において$t$に依存する外場との相互作用$\mathcal{V}(t)$が
加わった状況を想定しよう．
このとき，ある演算子$\mathcal{A}(t)$の統計平均は，$\mathcal{V}(t)$の1次までの範囲で

\begin{align}
\braket{\mathcal{A}(t)}_\mathrm{neq}
\simeq
\braket{\mathcal{A}(t)}
-
\frac{\I}{\hbar}
\int_{t_0}^\infty
\D t'
\theta(t-t')
\braket{
[
\E^{\I \mathcal{H}(t-t')/\hbar}
\mathcal{A}(t-t')
\E^{-\I \mathcal{H}(t-t')/\hbar}
,
\mathcal{V}(t')
]
},
\end{align}

と表される．ここで，$[\mathcal{O}_1,\mathcal{O}_2]: = \mathcal{O}_1 \mathcal{O}_2-\mathcal{O}_2 \mathcal{O}_1$は任意の演算子$\mathcal{O}_i$に対する交換子，

\begin{align}
\braket{\cdots}: = \frac{1}{\Tr\E^{-\beta(\mathcal{H}-\mu\mathcal{N})}}\Tr\E^{-\beta(\mathcal{H}-\mu\mathcal{N})}\cdots,
\end{align}

は大正準集団における統計平均を表し，$\mathcal{N}$は全粒子数演算子である．
$t_0$は外場を印加した時刻であるが，
初期条件の影響を取り除く目的で$-\infty$にとることが多い：

\begin{align}
\braket{\mathcal{A}(t)}_\mathrm{neq}
\simeq
\braket{\mathcal{A}(t)}
-
\frac{\I}{\hbar}
\int
\D t'
\theta(t-t')
\braket{
[
\E^{\I \mathcal{H}(t-t')/\hbar}
\mathcal{A}(t-t')
\E^{-\I\mathcal{H}(t-t')/\hbar}
,
\mathcal{V}(t')
]
},
\end{align}

ここで，積分範囲を省略した場合は$(-\infty,\infty)$であると約束する．
また，計算の都合上，統計平均の計算は有限の体積$\Omega$内で実行することがほとんどであり，
実用上は

\begin{align}
\braket{\mathcal{A}(t)}_\mathrm{neq}
\simeq
\braket{\mathcal{A}(t)}
-
\frac{\I}{\hbar}
\lim_{\delta\searrow 0}
\lim_{\Omega\to\infty}
\int
\D t'
\E^{\delta t'}
\theta(t-t')
\braket{
[
\E^{\I \mathcal{H}(t-t')/\hbar}
\mathcal{A}(t-t')
\E^{-\I \mathcal{H}(t-t')/\hbar}
,
\mathcal{V}(t')
]
},
 \tag{1}\label{eq:kubo}
\end{align}

を計算することになる．
これが時間に依存する外場に対する線型応答を与える一般式であり，
しばしば久保公式と呼ばれる．

収束因子$\E^{\delta t'}$の役割は，数学的には$\lim_{\Omega\to\infty}$の極限計算を
時間積分の外に出すことにあるが，物理的な考察も少し加えてみよう．
これまで見聞きした解釈を私なりにまとめたものを以下に2つ挙げる．

有限体積下で粒子の力学を考えること，すなわち，粒子に境界条件を設定することは，
粒子の固有エネルギが離散化され，$\set{E_n}$のように書けることを意味する ($n$は離散的な量子数)．
ここで，固有状態の時間依存性は$\E^{-\I E_n t/\hbar}$の形に書かれることを思い出すと，
この体系で生じる現象はある有限の周期を持つことがわかる (時間的に可逆)．
この状況で$t_0 = -\infty$から$t$まで外場を印加すると，
$t'$積分は振動積分になり，一般にはまともに収束しないことが予想される (そしてこの結果は正しい)．
しかしながら，我々は$\Omega\to\infty$での結果を知りたいわけだから，この状況を一時的に回避する策略として$\E^{\delta t'}$を付与することが考えられる．
すなわち，$\E^{\delta t'}$は時間的に可逆だった体系を，擬似的に不可逆系にする役割を持つと解釈できる．時間依存性に着目すると，$\E^{-\I E_n t/\hbar}\to E^{-\I(E_n+\I\delta)t'/\hbar}$とすることになるため，$\E^{\delta t'}$を付与することは固有エネルギに少しだけ正の虚部を加えて
複素エネルギとする操作に対応している．
一方，$\Omega\to\infty$では固有エネルギは連続値をとりうるから，
このとき現象はFourier積分によって表現され，周期が無限大 (不可逆系) となりうる．
この場合，収束因子があってもなくても結果は同じであると思われる．

もう1つの解釈は，外場がもともと$\E^{\delta t'}$なる因子を (超関数的に) 持っていると考えることである．
そうすると，無限の過去から現在に向かってゆっくりと外場を印加している描像となる．
これは久保公式を正当化する良い言い訳になる．
なぜなら，久保公式は統計演算子が外場によってめちゃくちゃになるような場合は使えないと思われるが，
外場が十分ゆっくりと「断熱的に」入るのであればこのような状況は除外されうる．
従って，この立場の人は$\E^{\delta t'}$を断熱因子と呼ぶことが多い．

久保公式を使うと断ってしまえばどちらにしても数学的には同じであるが，
背景にある物理的状況は上述のように微妙に異なる．
なお，私は統計物理学の専門家ではないため上記解釈云々には間違いが含まれているかもしれないし，
また，確定したものでもなく，考えを将来変えるかもしれない．

久保公式の使用上の注意はここで書き切れるものではないが，
特に，計算結果がゼロになったり無限大になったり，
極限のとり方に依存したりした場合は，大注意である．
このときは数学的にはもちろんのこと，
物理的にも合理的かどうか入念な検討が必要である (そもそも久保公式を適用してはいけない問題すらある)．
また，状況にもよるが，まともな結果を得るにはしばしばハミルトニアンが「ある程度複雑」
であることが求められる．
ちょっとお試しで計算しようとして簡単すぎる模型を用意するとたちまちゼロか無限大になってしまう．
このあたりも運用を難しくしている原因の1つとなっている．

電気伝導度テンソル

久保公式を使ってある電子系の電気伝導度の微視的表式を求めよう．
そのために少し準備をする．

電磁場の表現

ある電子系に以下の電磁場：

\begin{align}
\vec E(\vec r,t)&: = -\frac{\partial\vec a(\vec r,t)}{\partial t}-\vec\nabla\phi(\vec r,t), \tag{2}\label{eq:eb1}\\
\vec B(\vec r,t)&: = \vec\nabla\times\vec a(\vec r,t), \tag{3}\label{eq:eb2}
\end{align}

を印加する．$\vec E(\vec r,t)$は電場，$\vec B(\vec r,t)$は磁場と呼ばれる．
ここで$\vec a(\vec r,t)$と$\phi(\vec r,t)$はそれぞれ座標$\vec r$，時刻$t$でのベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルである．
よく知られているように，上式はゲージ変換：

\begin{align}
\vec a(\vec r,t)&\to\vec a(\vec r,t)-\vec\nabla\chi(\vec r,t), \tag{4}\label{eq:gauge1}\\
\phi(\vec r,t)&\to\phi(\vec r,t)+\frac{\partial\chi(\vec r,t)}{\partial t}, \tag{5}\label{eq:gauge2}
\end{align}

に対して不変である．ここで$\chi(\vec r,t)$は任意の関数である．
表式を簡単にするため，デカルト座標$(x,y,z)$と時間をまとめた記号 (4元ベクトル) を定義しよう：

\begin{align}
(x^0,x^1,x^2,x^3)&: = (ct,x,y,z),\\
(x_0,x_1,x_2,x_3)&: = (ct,-x,-y,-z),
\end{align}

ここで$c$は光速であり，単位を統一するために導入した．
添字の上下には意味がある点に注意．
また，座標微分は

\begin{align}
(\partial_0,\partial_1,\partial_2,\partial_3)
&: = \left(
\frac{\partial}{\partial x^0},
\frac{\partial}{\partial x^1},
\frac{\partial}{\partial x^2},
\frac{\partial}{\partial x^3}
\right)
 = \left(
\frac{1}{c}
\frac{\partial}{\partial t},
\frac{\partial}{\partial x},
\frac{\partial}{\partial y},
\frac{\partial}{\partial z}
\right),
\\
(\partial^0,\partial^1,\partial^2,\partial^3)
&: = \left(
\frac{\partial}{\partial x_0},
\frac{\partial}{\partial x_1},
\frac{\partial}{\partial x_2},
\frac{\partial}{\partial x_3}
\right)
 = \left(
\frac{1}{c}
\frac{\partial}{\partial t},
-\frac{\partial}{\partial x},
-\frac{\partial}{\partial y},
-\frac{\partial}{\partial z}
\right),
\end{align}

とする．更に，4元電磁ポテンシャルとして

\begin{align}
(A^0,A^1,A^2,A^3)&: = (\frac{\phi}{c},a_x,a_y,a_z),\\
(A_0,A_1,A_2,A_3)&: = (\frac{\phi}{c},-a_x,-a_y,-a_z),
\end{align}

と書く．ここで座標の引数は省略した．
以上の表記を用いると，ゲージ変換__($\ref{eq:gauge1}$)，($\ref{eq:gauge2}$)__はまとめて

\begin{align}
A^\mu(X) = A^\mu(X)+\partial^\mu\chi(X),
\end{align}

または

\begin{align}
A_\mu(X) = A_\mu(X)+\partial_\mu\chi(X),
\end{align}

と書けることがわかる．ここで$X: = (\vec r,t)$と略記した．
添字を小文字のギリシャ文字で表したときは，$0,1,2,3$のいずれか1つを指すものとする．
一方，ラテン文字のときは空間座標である$1,2,3$のいずれか1つを指すものとする．

外部電磁場と電子の相互作用

体積$\Omega$に格納された，以下のようなハミルトニアンで記述される電子系を考える：

\begin{align}
\mathcal{H}: = \int_\Omega\D^3 x \psi^\dagger(\vec r)
\left(
\frac{\vec p^2}{2m}
+
U(\vec r)
\right)
\psi(\vec r)
+
U_\mathrm{ee},
\end{align}

ここで$\D^3 x: = \D x\D y\D z$，$m$は電子の質量，$\vec p: = -\I\hbar\vec\nabla$，
$U(\vec r)$はポテンシャルエネルギ，$U_\mathrm{ee}$は電子間Coulomb相互作用である．
$\psi(\vec r)$は電子場の演算子であり，スピノル表示にある．
前節で導入した外部電磁場との相互作用はゲージ原理を要請すれば決定され，

\begin{align}
\mathcal{V}(t)
: = 
\int_\Omega\D^3 x j^\mu(\vec r)A_\mu(X)
-
\frac{e}{2m}
\sum_{i = 1,2,3}
\int_\Omega\D^3 x
A^i(X)^2
\rho(\vec r)
,
 \tag{6}\label{eq:VT}
\end{align}

と表される．ここで$e > 0$は素電荷であり，

\begin{align}
j^0(\vec r)&: = c\rho(\vec r),\quad\quad\rho(\vec r): = -e\psi^\dagger(\vec r)\psi(\vec r),\\
j^i(\vec r)&: = \frac{e\hbar}{2m\I}\left[\psi^\dagger(\vec r)\partial^i\psi(\vec r)-\hc\right]
\end{align}

は$A^\mu(X) = 0$に対する4元電荷電流密度演算子であり，電荷保存則：

\begin{align}
\frac{1}{\I\hbar}[\rho(\vec r),\mathcal{H}]+\partial_i j^i(\vec r) = 0,
 \tag{7}\label{eq:cons}
\end{align}

を恒等的に満たすように$j^i(\vec r)$を定義してある．
更に

\begin{align}
\partial_ij^i(\vec r)&: = \sum_{i = 1,2,3}\partial_i j^i(\vec r),\\
j^\mu(\vec r)A_\mu(X)
&: = 
\sum_{\mu = 0,1,2,3} j^\mu(\vec r)A_\mu(X),
\end{align}

と略記した．
以後，上式のように添字が上下に重複した場合はそれが有効な範囲内 (see: 前節最後) で和をとるものと約束する (Einsteinの記法)．

電荷電流密度

電流密度の電磁場に対する応答を調べるためには電流密度の演算子を知る必要がある．
外部電磁場がある場合の4元電荷電流密度演算子は以下のように定義できる：

\begin{align}
J^0(\vec r)&: = j^0(\vec r), \tag{8}\label{eq:J0}\\
J^i(X)&: = j^i(\vec r)+\frac{e}{m}A^i(X)\rho(\vec r). \tag{9}\label{eq:J1}
\end{align}

$J^i(X)$は電荷保存則：

\begin{align}
\frac{1}{\I\hbar}[\rho(\vec r),\mathcal{H}+\mathcal{V}(t)]+\partial_i J^i(X) = 0,
\end{align}

を恒等的に満たすように定義されたものである．
以上で電気伝導度を記述する準備ができた．

局所電気伝導度テンソル

4元電荷電流密度の電磁場に対する線型応答は久保公式__($\ref{eq:kubo}$)に($\ref{eq:J0}$)と($\ref{eq:J1}$)，($\ref{eq:VT}$)__を代入することによって

\begin{align}
\braket{J^0(\vec r)}_\mathrm{neq}^t&\simeq
\braket{j^0(\vec r)}
+
\lim_{\delta\searrow 0}
\lim_{\Omega\to\infty}
\int_\Omega\D^3 x'
\int
\D t'
\E^{\delta t'}
K^{0\nu}(\vec r,\vec r',t-t')
A_\nu(X')
, \tag{10}\label{eq:kubo1}
\\
\braket{J^i(X)}_\mathrm{neq}^t&\simeq
\frac{e}{mc}A^i(X)\braket{j^0(\vec r)}
+
\lim_{\delta\searrow 0}
\lim_{\Omega\to\infty}
\int_\Omega\D^3 x'
\int
\D t'
\E^{\delta t'}
K^{i\nu}(\vec r,\vec r',t-t')
A_\nu(X')
,
 \tag{11}\label{eq:kubo2}
\end{align}

と表される．電磁場がないときの電流密度は

\begin{align}
\braket{j^i(\vec r)} = 0,
\end{align}

となって消えるから，$\braket{J^i(X)}_\mathrm{neq}^t$の非摂動項はない．また，

\begin{align}
K^{\mu\nu}(\vec r,\vec r',t): = 
-\frac{\I}{\hbar}
\theta(t)
\braket{
[
\E^{\I \mathcal{H} t/\hbar}
j^\mu(\vec r)
\E^{-\I \mathcal{H}t/\hbar}
,
j^\nu(\vec r')
]
}
,
 \tag{12}\label{eq:K}
\end{align}

を定義した．
($\ref{eq:kubo1}$)，($\ref{eq:kubo2}$)は電磁ポテンシャル$A^\mu(X)$がむき出しになっており，
依然として電気伝導度を直接与える形にはなっていない．
しかし，我々はゲージ不変となるように理論を構成しているから，
必ず($\ref{eq:eb1}$)，__($\ref{eq:eb2}$)で与えられる電磁場で整理される筈である．
以下では，電荷保存則($\ref{eq:cons}$)__によってこれが達成されることを示すと共に，
電気伝導度テンソルの表式が得られることを示す．

($\ref{eq:eb1}$)，__($\ref{eq:eb2}$)からわかるように，電磁場は電磁ポテンシャルの時空微分で表現される．
この形を($\ref{eq:kubo2}$)__から取り出すために部分積分を利用することを考える．
まず，導関数を積分すれば元に戻るのだから，

\begin{align}
K^{\mu 0}(\vec r,\vec r',t)
 = 
\int_0^{t}
\D T
\frac{\partial}{\partial T}
K^{\mu 0}(\vec r,\vec r',T)
+
K^{\mu 0}(\vec r,\vec r',0),
\end{align}

である．右辺第1項目の時間微分は定義__($\ref{eq:K}$)と電荷保存則($\ref{eq:cons}$)__より，

\begin{align}
\frac{\partial}{\partial T}
K^{\mu 0}(\vec r,\vec r',T)
& = 
-\frac{\I}{\hbar}
\frac{\D\theta(T)}{\D T}
\braket{
[
j^\mu(\vec r)
,
j^0(\vec r')
]
}
+
c
\partial_j'
K^{\mu j}(\vec r,\vec r',T),
\end{align}

となる．第1項目の$\frac{\D\theta(T)}{\D T}$はデルタ関数であることに気をつけよう．
同時刻の演算子同士の交換子は電子場の演算子の交換関係から直接計算できて，

\begin{align}
[
j^0(\vec r)
,
j^0(\vec r')
]
& = 0,\\
[
j^i(\vec r)
,
j^0(\vec r')
]
& = \frac{e\hbar}{m\I}j^0(\vec r)\partial_i'\delta(\vec r-\vec r'),
 \tag{13}\label{eq:jij0}
\end{align}

となる．結果，

\begin{align}
K^{0 0}(\vec r,\vec r',t-t')
& = 
c
\partial_j'
\int_0^{t-t'}
\D T
K^{0 j}(\vec r,\vec r',T),
\\
K^{i 0}(\vec r,\vec r',t-t')
& = 
-
\theta(t-t')
\frac{e}{m}
\braket{j^0(\vec r)}\partial_i'\delta(\vec r-\vec r')
+
c
\partial_j'
\int_0^{t-t'}
\D T
K^{i j}(\vec r,\vec r',T),
 \tag{14}\label{eq:KI0}
\end{align}

となる．一方，原始関数を微分しても元に戻るのだから，空間成分については

\begin{align}
K^{\mu j}(\vec r,\vec r',t-t')
 = 
-
\frac{\partial}{\partial t'}
\int_0^{t-t'}
\D T
K^{\mu j}(\vec r,\vec r',T),
\end{align}

と書いておこう．
以上より，$\mu = 0$の表式に対して部分積分を行うことで

\begin{align}
\int_\Omega\D^3 x'
\int
\D t'
\E^{\delta t'}
K^{0\nu}(\vec r,\vec r',t-t')
A_\nu(X')
& = 
\delta
\int_\Omega\D^3 x'\int\D t'\E^{\delta t'}
\int_0^{t-t'}
\D T
K^{0 j}(\vec r,\vec r',T)
A_j(X')
\ret
+
\int_\Omega\D^3 x'\int\D t'\E^{\delta t'}
\int_0^{t-t'}
\D T
K^{0 j}(\vec r,\vec r',T)
\left[
-c\partial_j' A_0(X')
+
\frac{\partial}{\partial t'}A_j(X')
\right]
,
\end{align}

となる．上式右辺第1項目は$\Omega\to\infty$の極限を実行することで

\begin{align}
\lim_{\delta\searrow 0}
\lim_{\Omega\to\infty}
\delta
\int_\Omega\D^3 x'\int\D t'\E^{\delta t'}
\int_0^{t-t'}
\D T
K^{0 j}(\vec r,\vec r',T)
A_j(X')
& = 
\lim_{\delta\searrow 0}
\delta
\int\D t'\E^{\delta t'}
\int_0^{t-t'}
\D T
\lim_{\Omega\to\infty}
\int_\Omega\D^3 x'
K^{0 j}(\vec r,\vec r',T)
A_j(X'),
\end{align}

となるが，久保公式(一般論)のところでも述べたように，
熱力学極限の元では収束因子があってもなくても
無限区間の$t'$積分が収束すると仮定しよう．そうすると$\delta$が直接かかっていることから$\delta\searrow 0$の極限で消えることになる：

\begin{align}
\lim_{\delta\searrow 0}
\lim_{\Omega\to\infty}
\delta
\int_\Omega\D^3 x'\int\D t'\E^{\delta t'}
\int_0^{t-t'}
\D T
K^{0 j}(\vec r,\vec r',T)
A_j(X')
& = 
0,
\end{align}

また，電場の定義によって

\begin{align}
-c\partial_j A_0(X)
+
\frac{\partial}{\partial t}A_j(X)
 = 
E_j(X)
,
\end{align}

であるから

\begin{align}
\lim_{\delta\searrow 0}
\lim_{\Omega\to\infty}
\int_\Omega\D^3 x'
\int
\D t'
\E^{\delta t'}
K^{0\nu}(\vec r,\vec r',t-t')
A_\nu(X')
& = 
\lim_{\delta\searrow 0}
\lim_{\Omega\to\infty}
\int_\Omega\D^3 x'\int\D t'\E^{\delta t'}
\int_0^{t-t'}
\D T
K^{0 j}(\vec r,\vec r',T)
E_j(X')
,
\end{align}

と書かれることになる．ただし，電場は下付添字が元の電場ベクトルに対応するものとした：

\begin{align}
(E_1,E_2,E_3): = (E_x,E_y,E_z) = :-(E^1,E^2,E^3).
\end{align}

このようにして電荷密度がゲージ不変な形に求められた：

\begin{align}
\braket{J^0(\vec r)}_\mathrm{neq}^t
& = 
\braket{j^0(\vec r)}
+
\lim_{\delta\searrow 0}
\lim_{\Omega\to\infty}
\int_\Omega\D^3 x'\int\D t'\E^{\delta t'}
\int_0^{t-t'}
\D T
K^{0 j}(\vec r,\vec r',T)
E_j(X'),
\end{align}

電流密度も全く同様であり，

\begin{align}
\braket{J^i(X)}_\mathrm{neq}^t& = 
\lim_{\delta\searrow 0}
\lim_{\Omega\to\infty}
\int_\Omega\D^3 x'
\int\D t'\E^{\delta t'}
\left[
-
\frac{e}{m}\braket{\rho(\vec r)}
\theta(t-t')
\delta(\vec r-\vec r')
\delta^{ij}
+
\int_0^{t-t'}
\D T
K^{i j}(\vec r,\vec r',T)
\right]
E_j(X')
,
\end{align}

となる．従って電気伝導度テンソル：

\begin{align}
\sigma^{ij}(\vec r,\vec r',t-t')
: = 
-
\frac{e}{m}\braket{\rho(\vec r)}
\theta(t-t')
\delta(\vec r-\vec r')
\delta^{ij}
+
\int_0^{t-t'}
\D T
K^{i j}(\vec r,\vec r',T)
,
\end{align}

を定義することで期待通りの表式：

\begin{align}
\braket{J^i(X)}_\mathrm{neq}^t& = 
\lim_{\delta\searrow 0}
\lim_{\Omega\to\infty}
\int_\Omega\D^3 x'
\int\D t'\E^{\delta t'}
\sigma^{ij}(\vec r,\vec r',t-t')
E_j(X')
,
\end{align}

が得られる．
ここまできて，磁場は出てこないのか，と思う人もいるかもしれない．
しかし，__($\ref{eq:eb1}$)と($\ref{eq:eb2}$)__から直ちに得られるように，磁場と電場は

\begin{align}
-\frac{\partial \vec B(\vec r,t)}{\partial t}
 = 
\vec\nabla\times\vec E(\vec r,t),
\end{align}

で結びついており (Faradayの法則)，磁場が効いていないわけではない．

(大域的)電気伝導度テンソル

多くの場合，物質全体を流れる平均電流密度が重要であるから

\begin{align}
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
\sigma(\vec r, \vec r',t)
& = 
-
\frac{e}{m}
\theta(t)
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
\braket{\rho(\vec r)}
\delta(\vec r-\vec r')
\delta^{ij}
+
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
\int_0^{t}
\D T
K^{i j}(\vec r,\vec r',T),
\end{align}

の計算が問題となる．
右辺第1項のKroneckerデルタを

\begin{align}
\delta^{ij} = -\partial^j x^i,
\end{align}

と表現して部分積分してみると

\begin{align}
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
\sigma(\vec r, \vec r',t)
& = 
-
\frac{e}{m}
\theta(t)
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
x^i
\partial^j
\braket{\rho(\vec r)}
\delta(\vec r-\vec r')
+
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
\int_0^{t}
\D T
K^{i j}(\vec r,\vec r',T),
\end{align}

となる．ここで__($\ref{eq:jij0}$)__を思い出すと

\begin{align}
\partial^i \rho(\vec r)\delta(\vec r-\vec r')
 = 
\frac
{m\I}
{e\hbar}
[
\rho(\vec r)
,
j^i(\vec r')
]
,
\end{align}

であるから，

\begin{align}
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
\sigma(\vec r, \vec r',t)
& = 
-
\frac
{\I}
{\hbar}
\theta(t)
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
x^i
\braket{
[
\rho(\vec r)
,
j^j(\vec r')
]
}
+
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
\int_0^{t}
\D T
K^{i j}(\vec r,\vec r',T),
 \tag{15}\label{eq:sigma}
\end{align}

となる．ここで
$\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
x^i
\rho(\vec r)
$の部分は電気分極密度演算子になっていることに注意しよう．
すなわち，その時間微分は平均電流密度演算子に一致すること：

\begin{align}
\frac{\D}{\D T}
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
x^i
\E^{\I\mathcal{H} T/\hbar}
\rho(\vec r)
\E^{-\I\mathcal{H} T/\hbar}
 = 
\frac{1}{\Omega}
\int\D^3 x
\E^{\I\mathcal{H} T/\hbar}
j^i(\vec r)
\E^{-\I\mathcal{H} T/\hbar}
,
\end{align}

を示すことができる (電荷保存則__($\ref{eq:cons}$)__と部分積分を利用する)．
これより

\begin{align}
\frac{\D}{\D T}
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
x^i
\braket{
[
\E^{\I\mathcal{H} T/\hbar}
\rho(\vec r)
\E^{\I\mathcal{H} T/\hbar}
,
j^j(\vec r')
]}
 = 
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3 x
\braket{
[
\E^{\I\mathcal{H} T/\hbar}
j^i(\vec r)
\E^{-\I\mathcal{H} T/\hbar}
,
j^j(\vec r')
]},
\end{align}

が恒等的に成り立つ．
更に両辺に左から$\int_0^\infty\D T \E^{-\delta T}$を作用させると

\begin{align}
&-
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
x^i
\braket{
[
\rho(\vec r)
,
j^j(\vec r')
]}
+
\delta
\int_0^\infty\D T \E^{-\delta T}
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
x^i
\braket{
[
\E^{\I\mathcal{H} T/\hbar}
\rho(\vec r)
\E^{\I\mathcal{H} T/\hbar}
,
j^j(\vec r')
]}
\ret
 = 
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3 x
\int_0^\infty
\D T
\E^{-\delta T}
\braket{
[
\E^{\I\mathcal{H} T/\hbar}
j^i(\vec r)
\E^{-\I\mathcal{H} T/\hbar}
,
j^j(\vec r')
]},
\end{align}

となる．左辺第2項において熱力学極限をとると，
収束因子の補助がなくても$T$積分が収束することを仮定しよう：

\begin{align}
&\lim_{\delta \searrow 0}
\lim_{\Omega\to\infty}
\delta
\int_0^\infty\D T \E^{-\delta T}
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
x^i
\braket{
[
\E^{\I\mathcal{H} T/\hbar}
\rho(\vec r)
\E^{\I\mathcal{H} T/\hbar}
,
j^j(\vec r')
]}
\ret
 = 
\lim_{\delta \searrow 0}
\delta
\int_0^\infty\D T 
\lim_{\Omega\to\infty}
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
x^i
\braket{
[
\E^{\I\mathcal{H} T/\hbar}
\rho(\vec r)
\E^{\I\mathcal{H} T/\hbar}
,
j^j(\vec r')
]}
\ret
 = 0.
\end{align}

そえゆえ相関関数を利用して

\begin{align}
\lim_{\delta \searrow 0}
\lim_{\Omega\to\infty}
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
x^i
\braket{
[
\rho(\vec r)
,
j^j(\vec r')
]}
 = 
\frac{\hbar}{\I}
\lim_{\delta \searrow 0}
\lim_{\Omega\to\infty}
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3 x
\int_0^\infty
\D T
\E^{-\delta T}
K^{ij}(\vec r,\vec r',T)
,
\end{align}

と書き換えられることがわかった．
従って$\lim_{\delta \searrow 0}
\lim_{\Omega\to\infty}$が作用することを前提として
__($\ref{eq:sigma}$)__は

\begin{align}
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
\sigma(\vec r, \vec r',t)
& = 
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
\left(
\int_0^{t}
\D T
K^{i j}(\vec r,\vec r',T)
-
\theta(t)
\int_0^\infty
\D T
\E^{-\delta T}
K^{ij}(\vec r,\vec r',T)
\right)
,
\end{align}

となる．
通常は上式をそのまま用いることは少なく，Fourier変換してから計算する．
すなわち，複素数$z$によって

\begin{align}
\tilde K^{i j}(\vec r,\vec r',z)
: = 
\int_0^\infty
\D t \E^{\I z t}
K^{ij}(\vec r,\vec r',t),
\for{\Im z > 0},
\end{align}

を定義すると時間積分を上手に処理することができて，振動数$\omega$に対して

\begin{align}
\frac{1}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
\int\D t
\E^{\I\omega t}
\sigma(\vec r, \vec r',t)
& = 
\frac{\I}{\Omega}
\int_\Omega\D^3x
\frac{
\tilde K^{ij}(\vec r,\vec r',\omega+\I\delta)
-
\tilde K^{ij}(\vec r,\vec r',\I\delta)
}{
\omega
}
,
\end{align}

となる．
よく知られているように，
$\tilde K^{ij}(\vec r,\vec r',\omega+\I\delta)$は温度Green関数と密接に結びついている．