まえがき
最近数学で遊んでいたらおもしろいことを見つけた。簡単に言えば$\sqrt{2}$の近似を簡単に手計算でできないかを考えた。その結論が出たのでとりあえず記事にしておきたい。(自分用)
計算方法
二項定理を用いて適当なnのときの以下の式を展開する。
$$(3+2\sqrt{2})^n$$
ここで
$$(3+2\sqrt{2})^n = a+b\sqrt{2}$$
とすると、
$$\frac{a}{b}\fallingdotseq\sqrt{2}$$
となる。
つまり、二項定理を用いて式の展開をするだけで$\sqrt{2}$の近似ができる。また、これはおそらく漸近分数である。実際に計算すると、
| n | a | b | a/b |
|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 2 | 1.5 |
| 2 | 17 | 12 | 1.4166666⋯ |
| 3 | 99 | 70 | 1.4142857⋯ |
| 4 | 577 | 408 | 1.4142156⋯ |
| 5 | 3363 | 2378 | 1.4142136⋯ |
確かに$\sqrt{2}$に近くなっていっている。手計算で頑張ればn=8くらいまでは行けなくはないだろう。パソコンに計算させればもっと早くなるが、二項展開をプログラムでどう扱うかが問題で、まだプログラムに起こせていない。今後は上の計算を自動でやってくれるようなプログラムを考えてみようと思う。
まとめ
今回は短い時間でちゃちゃっと記事を書いたので完全に自分用になってしまっていて申し訳ない。ただ、今回の内容はかなり面白い事実だったのではないだろうか。感想などあればぜひコメントいただきたい
追記
\displaylines{
任意の整数xについて(x+\sqrt{x^2-1})^n(nは自然数)を展開し、整数a,bを用いて\\
(x+\sqrt{x^2-1})^n=a+b\sqrt{x^2-1}\\
と表したとき、\frac{a}{b}\fallingdotseq\sqrt{x^2-1}となる。
}
という法則性があるかもしれないことが分かった。あくまでも予想であるが。
更に追記
どうやら
\displaylines{
任意の整数x,yについて(\sqrt{x}+\sqrt{y})^n\:(nは自然数)を展開し、整数a,bを用いて\\
(\sqrt{x}+\sqrt{y})^n=a\sqrt{x}+b\sqrt{y}\\
と表したとき、\frac{a}{b}\fallingdotseq\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}となる。
}
条件を更に厳しくしたがこれも成り立ちそうである。