log2

素直にこの通りに解きましたが
これだと、掛け算がオーバーフローしてエラーになる可能性があるそうです。
たしかにそれもそうか。
log２だと天文学的な数値になるとか学生の時に聞いたことがあるし。

N = int(input())
sum = 1
for i in range(1,N+1):
    sum *= i

cnt = 0
while sum > 0:
    if sum % 2 != 0:
        break

    sum //= 2
    cnt += 1

print(cnt)

で、再度見てみると。

たとえば４だとすると
1 * 2 * 3 * 4 は　24で、2で割り切れるのは3回。
要素ごとに2で割れるか調べてみると
1 * 2 * 3 * (2 * 2)
こうなります。２が３個あるので、３回割れることになる。
これを応用すれば良さそうです。

N = int(input())
ans = 0
for i in range(1, N + 1):
    now = i
    #今調べてる数を２で割り切れるまで続ける
    while now % 2 == 0:
        now //= 2
        ans += 1

print(ans)