Woodburyの恒等式を始めとした、
「両辺におなじものかけて左辺をガチャガチャやったら右辺になる」
系の行列の式変形の備忘録。
順次追加予定。
Woodburyの恒等式
\begin{equation}
(A+B D C)^{-1}=A^{-1}-A^{-1} B\left(D^{-1}+C A^{-1} B\right)^{-1} C A^{-1}
\end{equation}
特に$D=I$の時
\begin{equation}
(A+B C)^{-1}=A^{-1}-A^{-1} B\left(I+C A^{-1} B\right)^{-1} C A^{-1}
\end{equation}
その他公式
\begin{equation}
\left(P^{-1}+B^{\mathrm{T}} R^{-1} B\right)^{-1} B^{\mathrm{T}} R^{-1}=P B^{\mathrm{T}}\left(B P B^{\mathrm{T}}+R\right)^{-1}
\end{equation}
\begin{equation}
(I+A B)^{-1} A=A(I+B A)^{-1}
\end{equation}
\begin{equation}
(A+B)^{-1}B = I - (A+B)^{-1}A
\end{equation}
特に$B=I$のとき
\begin{equation}
(I+A)^{-1} = I - (I+A)^{-1}A
\end{equation}