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行列の式変形まとめ(Woodburyなど)

Woodburyの恒等式を始めとした、
「両辺におなじものかけて左辺をガチャガチャやったら右辺になる」
系の行列の式変形の備忘録。

順次追加予定。

Woodburyの恒等式

\begin{equation}
(A+B D C)^{-1}=A^{-1}-A^{-1} B\left(D^{-1}+C A^{-1} B\right)^{-1} C A^{-1}
\end{equation}

特に$D=I$の時

\begin{equation}
(A+B C)^{-1}=A^{-1}-A^{-1} B\left(I+C A^{-1} B\right)^{-1} C A^{-1}
\end{equation}

その他公式

\begin{equation}
\left(P^{-1}+B^{\mathrm{T}} R^{-1} B\right)^{-1} B^{\mathrm{T}} R^{-1}=P B^{\mathrm{T}}\left(B P B^{\mathrm{T}}+R\right)^{-1}
\end{equation}


\begin{equation}
(I+A B)^{-1} A=A(I+B A)^{-1}
\end{equation}
\begin{equation}
I - (A+B)^{-1}B=(A+B)^{-1}A
\end{equation}

参考URL

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