数値のカウントについて

プログラミング初心者です。お世話になります。

ボタンのクリックに応じて数値のカウントをするプログラムを書いています。

悩んでいるのが、

以下のプログラムにて、カウントした数値を代入する変数 "z" がメンバ変数であれば
カウントされるのですが、ローカルだとカウントされないということです。

そこで聞きたいのが、
なぜローカルだとカウントされないのかということです。

以下のことは理解しています。（合っているかわかりませんが）
メンバ変数はそのクラス全体で使えるもの。ローカルはそのメソッドでのみ使えるもの。
というように理解しています。

public partial class Form1 : Form
{
    int z;

    public Form1()
    {
        InitializeComponent();
    }

    private void button1_Click(object sender, EventArgs e)
    {
        Form f = new Form();

        f.Click += new EventHandler(button1_Click);

        z += 1;

        richTextBox1.Text = z.ToString();
    }
}