VSCodeに背景画像を設定できる拡張機能background-coverが、Linuxで動作しないときの解決策です。

workbench.desktop.main.cssのアクセス権を変えるだけ。

$ cd /usr/share/code/resources/app/out/vs/workbench
$ sudo chmod 666 workbench.desktop.main.css

上記はLinux Mintでの設定例ですが、
ディストリビューションによってディレクトリが異なるかもしれないので
適切なディレクトリを指定してください。

アップデートとかしたら再設定が必要だと思います。