順列と組み合わせの公式について

• 問題提起

  • 順列と、組み合わせの公式がよくわからない。
  • 順列の公式 $_nP_r=\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}$ ← まだわかる。
  • 組み合わせの公式$_nC_r=\displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!} = \frac{_nP_r}{r!}$ ← わからない($r!$ がどっから出てきたっけ？ って毎回なる)

• そもそも順列と、組み合わせとは何か？

  • 組み合わせ

    • グループから、いくつかを取り出すパターンの数
      • 例: 5人から3人を取り出すパターンの数
      • $_nC_r$と表現される。
      • 上記例の場合 n=5, r=3であるため、$_5C_3$

  • 順列

    • グループから、いくつかを取り出して並べたパターンの数
      • 例: 5人から3人を取り出して並べるパターンの数
      • $_nP_r$と表現される。
      • 上記例の場合 n=5, r=3であるため、$_5P_3$

• 順列と組み合わせの関係

  • 組み合わせのパターン数に、要素の数の並び方のパターン数を乗ずれば、順列のパターン数が得られる。
    • 組み合わせのパターン(グループからいくつかを取り出す際のパターン)のひとつひとつに対して、並び方で区別するようにした場合が、順列のパターン数。
    • 組み合わせのパターン数に、その組み合わせにおいて可能な並び方のパターン数を乗ずれば、順列のパターン数が出る。
    • 例: 5人から3人を取り出して並べるパターンの数
      • 5人から3人を取り出すパターンの数がある。
      • その一つ一つのパターンに対して、3人の並べ方がある(3 × 2 の6通り)。
      • 5人から3人を取り出すパターンの数に3人の並べ方のパターンの数を乗ずれば、5人から3人を取り出して並べるパターン数(順列)が出る。
  • 数式での説明
    • n人からr人取り出して並べたときの並び方のパターン数 $_nP_r$ は、n人からr人取り出すパターン数 $_nC_r$ にr人の並び方のパターン数 $r!$を乗じたもの。つまり、
    • $_nP_r = _nC_r \times r!$
    • となる。これを$_nC_r$
      について解けば、組み合わせの公式が得られる。
    • $_nC_r = _nP_r \div r! =\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!} \div r! = \displaystyle \frac{n!}{r!(n-r)!}$

• 順列の公式

  • 順列の公式 $_nP_r =\displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}$(n個から、r個を取り出して並べたときのパターン数) はどこから出てくる？
  • 前提
    • 5人の並び方のパターン数: 5! = 5 * 4 * 3 * 2 *1 となる。(これは感覚的にわかるだろう)
    • 2人の並び方のパターン数: 2! = 2 *1
    • 5人から3人取り出して並べたパターンの数: とりあえず ${5}P{3}$ とおく
  • ここで、5人から3人取り出して並べたパターンの数 × 2人の並び方のパターン数 = 5人の並び方のパターン数 となることも、感覚的にわかるだろう。
  • これを数式で表すと、以下になる。
  • $5! = _5P_3 \times 2!$
  • $_5P_3$について解く。
  • $_5P_3 =\displaystyle \frac{5!}{2!} = \frac{5!}{(5-3)!}$
  • n=5, r=3である。上の式一般化すると以下となり、順列の公式となる。
  • $_nP_r = \displaystyle \frac{n!}{(n-r)!}$