ESP8266を使う場合、CR2032駆動は厳しいかもしれない。
CR2032 コイン電池で動く ESP8266 ロガーを作ってみた（Running ESP8266 by one coin cell）
にて電気二重層コンデンサを使った例はあるが、回路が大きくなる。

Trinketなどの小型マイコンをCR2032駆動する、という方法は考えられる。
ATTiny85のICは購入済ではあるが、実装環境の構築とそのメンテやデバッグしずらさを考えると使うのは躊躇している。

別途、555 Timerについて気になりだした。

0:28あたり

When you trigger the input High, no matter how briefly, it outputs a pulse of a set duration ...

http://www.electronics-tutorials.ws/waveforms/555_timer.html
のMonostable 555 Timerに入力信号と出力信号の図がある。

555 Timerを使う場合の注意点は以下を見つけた。

５５５　ワンショット回路で使うときのトリガ信号は、出力信号より短い必要があります。

SBS-203 小型ブレッドボードパーツセット
8 タイマー回路
に回路例がある。
http://www.sunhayato.co.jp/dcms_media/other/MNL-SBS203-08.pdf

ブレッドボードで点灯することは確認した。
回路は上記の「8 タイマー回路」を参考に、電解コンデンサは22uFを使用。

You push the button, we do the rest.

George Eastman
https://www.brainyquote.com/quotes/george_eastman_274155