Scipy > Delaunay > cocircular > 定義 | cospherical

動作環境

GeForce GTX 1070 (8GB)
ASRock Z170M Pro4S [Intel Z170chipset]
Ubuntu 16.04 LTS desktop amd64
TensorFlow v1.2.1
cuDNN v5.1 for Linux
CUDA v8.0
Python 3.5.2
IPython 6.0.0 -- An enhanced Interactive Python.
gcc (Ubuntu 5.4.0-6ubuntu1~16.04.4) 5.4.0 20160609
GNU bash, version 4.3.48(1)-release (x86_64-pc-linux-gnu)
scipy v0.19.1
geopandas v0.3.0
MATLAB R2017b (Home Edition)

データ

https://github.com/gradywright/spherepts
のgetIcosNode.mを用いて[x0, tri0] = getIcosNodes(4,0)とした時に、tri = delaunay(x)で使われるxが以下となる。

delaunay_input_171118.txt

   0.0000000e+00   8.5065081e-01   5.2573111e-01
   0.0000000e+00  -8.5065081e-01   5.2573111e-01
   0.0000000e+00   8.5065081e-01  -5.2573111e-01
   0.0000000e+00  -8.5065081e-01  -5.2573111e-01
   5.2573111e-01   0.0000000e+00   8.5065081e-01
  -5.2573111e-01   0.0000000e+00   8.5065081e-01
   5.2573111e-01   0.0000000e+00  -8.5065081e-01
  -5.2573111e-01   0.0000000e+00  -8.5065081e-01
   8.5065081e-01   5.2573111e-01   0.0000000e+00
  -8.5065081e-01   5.2573111e-01   0.0000000e+00
   8.5065081e-01  -5.2573111e-01   0.0000000e+00
  -8.5065081e-01  -5.2573111e-01   0.0000000e+00

code

上記のxの値をScipyで処理する。

test_scipy_delaunay_171119.py

import numpy as np
from scipy.spatial import Delaunay


IN_FILE = 'delaunay_input_171118.txt'
xyz = np.genfromtxt(IN_FILE, delimiter='  ')
print("---xyz---")
print(xyz)

print("---dln---")
dln = Delaunay(xyz, qhull_options="Qt Qbb Qc")
#print(dln)

run

$ python3 test_scipy_delaunay_171119.py 
(中略)
Traceback (most recent call last):
  File "test_scipy_delaunay_171119.py", line 11, in <module>
    dln = Delaunay(xyz, qhull_options="Qt Qbb Qc")
  File "scipy/spatial/qhull.pyx", line 1882, in scipy.spatial.qhull.Delaunay.__init__ (scipy/spatial/qhull.c:18174)
  File "scipy/spatial/qhull.pyx", line 434, in scipy.spatial.qhull._Qhull.__init__ (scipy/spatial/qhull.c:5799)
scipy.spatial.qhull.QhullError: QH6019 qhull input error: can not scale last coordinate.  Input is cocircular
   or cospherical.   Use option 'Qz' to add a point at infinity.

While executing:  | qhull d Qt Qc Qbb
Options selected for Qhull 2015.2.r 2016/01/18:
  run-id 18630392  delaunay  Qtriangulate  Qcoplanar-keep  Qbbound-last
  _pre-merge  _zero-centrum  Qinterior-keep  Pgood

疑問

上記の「Input is cocircular　or cospherical. Use option 'Qz' to add a point at infinity.」における「cocircular」とは何か。

Definition 5.3 (cocircular point set) Let $P$ be a finite set of points in three-dimensional space $R^{3}$. More than three coplanar points are said to be cocircular in $R^{3}$ if and only if they are located on the perimeter of a two-dimensional circle $s$ in $R^{3}$ where $s$ defines a disk which contains no other points in $P$.

三次元の点ではあるが、二次元の円の円周上にのみ配置されている時に「cocircular」と呼ばれると理解した。

同様に、三次元の球の球殻上にのみ配置された時に「cospherical」と呼ばれるのだろう。

現在のターゲットは球の積分を効率的に行うための球殻上の点を扱っている。cosphericalなのだろう。