A Comparison of Popular Point Configurations on S^2
http://emis.ams.org/journals/DRNA/2-4.html
概要
球面上の点の取り方に関して、以下のpoint setsを比較している。
- Fibonacci and generalized spiral nodes
- projections of low dicrepancy nodes from unit square
- QMC?
- zonal equal area nodes and HEALPix nodes
- polygonal nodes such as icosahedral, cubed sphere, and octahedral nodes
- minimal energy nodes
- random nodes
- mesh icosahedral equal area nodes
- 著者らの新提案手法
下記の特性について検討している。
- equidistribution
- separation
- covering
- quasi-uniformity
- Riesz potential energy
結果
- Voronoi decompositionを用いて、分割の様子を図示している
- black points: hexagonal (not necessary regular)
- red points: pentagonal
- cyan points: heptagonal
- QMCに関してはHammersley Nodesを紹介している
- Mesh ratiosはEqual Area Icosahedral Nodesで0.73程度 (N=509252)と低い
- Table 11に以下の特性が紹介されている
- Defined for
- Hierarchy (No or Subseq.)
- Equidistribution
Mesh ratio
論文の結果の主要項目となるMesh ratio。
p17
The quantity $\gamma(\omega_N)$ is called the mesh ratio of $\omega_N$.
{\gamma(\omega_N):=\frac{\eta(\omega_N)}{\delta(\omega_N)}}
$\eta(\omega_N)$はcovering radius
\eta(\omega_N) := max(y) min(x) |x-y|
論文とは違う表記のmax(y)は$y \in S^2$に関するmax、min(x)は$x \in \omega_N$に関するmin。
$\delta(\omega_N)$はseparation of a configuration $\omega_N \subset S^2$
\delta(\omega_N) := min(x,y) |x-y|
論文とは違う表記のmin(x,y)は$x,y \in \omega_N$かつ$x \ne y$に対するmin。
mesh ratioが低いものは効率よく分散点を得ている、という理解をしている。
著者らが提案しているmesh icosahedral equal area nodesのmesh ratioが一番低い (Table 8)。
QMCと比べて積分の効率は向上するかは気になる点ではある。
code
関連コードは以下にある。
-
https://github.com/gradywright/spherepts
- MITライセンス
- ( うち、mesh icosahedral equal area nodesのMatlabコード )