MT6でカスタムフィールドの値で並び替えができます。
カスタムフィールドのオプションは「日付」で作成します。
「日付と時刻」というオプションもありますが、時刻の箇所が自動入力されず、手動で日付を入力（00:00:00形式）する必要があります。
面倒なので日付のみのオプションにします。
ただ、同一の日付が複数ある場合、何を基準に順番を決めているのかわからないので、確かめてみます。

今回作成したカスタムフィールドのベースネームがentrytimeのため、下記のように記述します。

<!DOCTYPE html>
<html>
<head>
<meta charset="utf-8">
<title>テスト</title>
</head>
<body>

<mt:entries sort_by="field:entrytime">
<mt:If tag="entrytime">
	<p><$mt:EntryTitle$></p>
</mt:If>
</mt:entries>

</body>
</html>

<mt:entries sort_by="field:entrytime">でカスタムフィールドの値で並び替えをしています。
<mt:If tag="entrytime">で日付の入力がある記事のみ表示しています。

3件登録したが表示結果です。

カスタムフィールド値（2016-02-01）公開日（2016-02-08 00:10:00）
カスタムフィールド値（2016-02-01）公開日（2016-02-08 00:05:00）
カスタムフィールド値（2016-02-01）公開日（2016-02-08 00:00:00）

カスタムフィールドの値（日付）が同じときは、公開日の日時を基準に順番が決まるみたいです。

ちなみに<mt:entries sort_by="field:entrytime" sort_order="ascend">と古い順に指定しても表示結果は変わりませんでした。
カスタムフィールドだからsort_order="ascend"が効かないのかな・・・