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分散

データがどのぐらい平均の周りにバラついているかを表したもの
分散が小さいほど、データの値は平均値に集まっており、大きいほどデータの値が平均値からバラついていることを表す
分散と平均を足したり、比較したりすることができない点を注意しなければいけない
- 理由としては、以下に示すが各データを2乗したものを用いているためである

例：ある実験を行い、次の2つのデータが得られた。AもBもどちらも平均は3.5であるが、この2つのデータのばらつき具合は似ていると言えるか

以下の3つの値を用いて、2つのデータの平均値からのばらつき具合を比較する

したの表は平均値とそれぞれのデータとの差をまとめたものである

データA	平均値からの差	データB	平均値からの差
1	2.5	3.5	0
2	1.5	3.5	0
3	0.5	3.5	0
4	-0.5	3.5	0
5	-1.5	3.5	0
6	-2.5	3.5	0
合計=21	合計=0	合計=21	合計=0
平均=3.5	平均=0	平均=3.5	平均=0

この差の平均はデータAもデータBも0であった

ここで算出した「平均値と各データの差」のことを偏差という

比較する値が必ず0以上となるように平均値とそれぞれのデータとの差の絶対値の平均を考えてみる

データA	平均値からの差の絶対値	データB	平均値からの差の絶対値
1	2.5	3.5	0
2	1.5	3.5	0
3	0.5	3.5	0
4	0.5	3.5	0
5	1.5	3.5	0
6	2.5	3.5	0
合計=21	合計=9	合計=21	合計=0
平均=3.5	平均（＝平均偏差）=1.5	平均=3.5	平均（＝平均偏差）=0

絶対値をつけた偏差の平均は、データAの1.5の方がデータBの0より大きいことから、データAの方が平均値からばらつき具合が大きいことがわかる。

しかし、絶対値の計算は絶対値記号を外すために場合わけをする必要があるため、数学的に面倒であるというデメリットがある

n個のデータをx_i(i = 1, 2, ・・・, n)、その平均値を\bar{x}とすると、分散の公式は以下の通りである

V = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2

今回の例題のAの場合で実際に求めようとすると、以下の手順で求めることになる

(1 - 3.5), (2 - 3.5), (3 - 3.5), (4 - 3.5), (5 - 3.5), (6 - 3.5)

(1 - 3.5)^2, (2 - 3.5)^2, (3 - 3.5)^2, (4 - 3.5)^2, (5 - 3.5)^2, (6 - 3.5)^2

(1 - 3.5)^2 + (2 - 3.5)^2 + (3 - 3.5)^2 + (4 - 3.5)^2 + (5 - 3.5)^2 + (6 - 3.5)^2

{(1 - 3.5)^2 + (2 - 3.5)^2 + (3 - 3.5)^2 + (4 - 3.5)^2 + (5 - 3.5)^2 + (6 - 3.5)^2} \div 6 = 2.9

上記の通り計算を行うとデータA、データBの分散は次のようになる

\displaylines{
・データAの分散：V_A = 2.9 \\
・データBの分散：V_B = 0
}

したがって、データAの方がデータの値が平均値からばらついていることが証明された

\sigma^2

\displaylines{
標準偏差 = \sqrt{分散} \\
\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}
}

先ほどの分散の標準偏差を考えると以下の通りである

\displaylines{
・データAの標準偏差：\sigma_A = 1.7 あるいは SD_A = 1.7 \\
・データBの標準偏差：\sigma_B = 0 あるいは SD_B = 0
}

標準偏差を見ても、分散とう同様にデータAの方が大きいことから、データAの方がデータBよりもばらついていることがわかる