概略

不完全性定理を勉強したら数学への見え方が変わった、という話です。

菊池『不完全性定理』をベースにいくつかの教科書を読みました。この教科書は哲学的な考察や俯瞰的な観点での議論が多くウェットなのですがその分納得がしやすかったです。

知見1: 関数の見え方が変わった

数学やプログラミングをしていると、様々な場面で関数やそれに類似した概念に遭遇します。それらは、多くの場合互いに非干渉なので、あまり困ったことはないのですが、どうもモヤモヤしたものが残っていました。具体的には以下に挙げるような諸概念です

関数（プログラミング/計算論の世界）
計算・プログラム（プログラミング/計算論の世界）
アルゴリズム（プログラミング/計算論の世界）
算術・自然数論（数理論理学）
演算・作用・関数（代数学）
写像・関数（集合論）
グラフ（集合論の写像の表現としてのグラフ）

不完全性定理を学ぶと、上記の概念がほぼ全部登場し、それぞれの定義に従って明確に連携しあい定理を導きます。計算可能であるとは？表現可能であるとは？定義可能であるとは？公理化可能であるとは？理論の無矛盾性を理論の中で展開するには？といったトピックの中で、上記に挙げた諸概念を初めて理解したと思えるようになりました。

知見2. 数の見え方が変わった

[菊池]では、自然数に関連する概念を少なくとも3つに分類し論じています。それらは等しいかもしれないですし、異なるかもしれません。これらの同一性は哲学（マイルドに言えば数学観）によって答えが異なりえます:

$\mathcal N$: 数学をしていない時人が了解している素朴な数の概念
$\mathbb N$ : ペアノ・デデキントらによって議論・発明された数学的構造
$\omega$: 集合論の中で展開された $\mathbb N$ を表現すると解釈可能な、一意に存在すると証明された対象につけられた名前。

これらに対する議論や、算術での対象 $U$ と集合論での対象 $V$ の間に $U⊂V$なる関係があるのか？という並行した議論、および（可算・非可算の）PAの超準モデルの存在などが絡み合って「数とは何か」に関して（確定的な理解に至らなくても）理解を深めることができました。

知見3. 形式化の強力さを知った

論理学の勉強ですでに、形式化することの重要性は理解しているつもりでしたが、不完全性定理においてその思いがさらに強くなりました。桁違いな発想の自由度を手に入れたという実感があります。「証明できる」とか「無矛盾である」などが形式化されるのはもちろん、それらに関する言明（典型的には不完全性定理自身）すら形式化することで、メタのメタの議論も容易になり、人間の思考を形式化する強力な道具になったと思います。この辺り様相論理的なアプローチが応用としてあるようで興味がわいてきました。参考: 証明可能性論理 - Wikipedia

まとめ

不完全性定理は、理解するまでにとても色々な知識と忍耐が必要なのですが、それを上回る利益をもたらしてくれました。これからも少しずつ詳細を勉強していこうと思います。