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「ならば」と 数学


0. 概要

数学では「ならば」に相当するような 記号や表記や概念 がたくさん出てくるので整理してみた。数理論理学に関連。


1. 「ならば」っぽい奴の一覧



  • ,


    • 論理学の「ならば」。真理値表を書けばその機能は明確。A→Bのように使われAがtrueかつBがfalseの時にのみfalseとなる。定義が明確なので使用上の混乱はないが、「なぜその真理値表を持つのか?」というそもそもの疑問を持つ人もいる(をならばと読んでいるからこその疑問)




  • 定理における ⇒, $\Longrightarrow$, ならば


    • 定理の中に出てくる日本語「ならば」。⇒や $\Longrightarrow$ とも。

    • 例「xが4の倍数 ならば xは2の倍数 である」

    • AならばB」という形で文の間に配置されて、新しい言明を生成する。Aが成立していないときのことについては何も主張しないので その時の B の成否は問わない。

    • メタな文(論理式で表せない文)とメタな文の間に配置して、新しい言明を生成することもある

    • 人によっては頭の中で自動的に A→B に翻訳しているかもしれない(がそれは先走りすぎかも。後述。)




  • ならば(日常)


    • 日本語などの自然言語での「ならば」。「雨が降るならば遠足は中止です」に見られるように、雨が降らない場合も暗示することある(つまり、雨が降らなかった時には遠足は行うといったように。この場合、ならばというよりも同値となる)。数学のテクストも日本語で記載されるので、自然言語での説明や解説において影響がありうる。




  • ⊢, 「・・を仮定するならば・・が証明できる/導出できる」


    • ABを仮定するならばCが導出できる」のように使われる。論理学では ⊢ という記号を用い、{A,B} ⊢ C と書く。

    • 公理と定理の関係もこのカテゴリに入る。

    • 上述の「⇒」と似ているがこちらの方が意味が限定されている。「⇒」の証明ヴァージョンが「 ⊢ 」だと理解してもよい。




  • 推論・演繹としての ならば/よって/ゆえに/ということは


    • 背理法: 「Aと仮定すると矛盾。ならばAでない」

    • 場合分け: 「Aと仮定するとB¬Aと仮定してもB。よってB

    • 三段論法: 「AA→Bが示せた。よってB

    • 二重否定除去:「¬¬Aだ。ならば A。」

    • ・・・

    • これらは、推論規則と呼ばれる。いくつかの基本的な推論規則をベースに、それらを組み合わせた派生規則が無数に生み出される。




  • モデル版 ⊨ 「・・・という構造を決める ならば成立する/正しい」


    • 「3つの元からなる集合を考える ならば 互いに異なる二つの元が存在する」のように使う。公理を与えるのではなく、対象や演算の性質を具体的に定めることにより、文の成立不成立を議論する。意味論・モデル論的なアプローチ。

    • 数理論理学では ⊨ を使い、左辺に構造を配置する M ⊨ ∃x∃y¬(x=y)




  • 帰結版 ⊨ 「・・・が成立するならば・・・が帰結する」


    • Aが成立する ならば Bが成立するのように使う。前述の⇒と似ているが意味が限定されており、背後に特定の構造(およびそれによって定まる理論)を背景にある。しかし、我々が(通常の用途で) 「⇒」 や 「ならば」を利用するときには、特定の構造を前提とするのが普通なので、⇒ と同一視してもいいのかもしれない。AB のように使う




2. ならばに関するトピック


2-1. 演繹定理

AB(つまり Aを仮定するならばBが証明できる)」を「A → B が証明できる」と同一視してよいことを保証するのが演繹定理。演繹定理が成立しない場合もあるけれど、普通の数学では成立する。概念的に異なる と ⊢ を(ある意味で)同一視しても、変なことにはならないことを主張。

「定理における日本語の ならば、つまり $\Longrightarrow$ 」 を「 ⊢ 」として解釈できる場合「A$\Longrightarrow$B」という言明は、演繹定理により「A→B」が定理であると解釈することができることを示している。



  • A$\Longrightarrow$B : 日本語(自然言語)を使った言明


  • AB : 数理論理学を使ったメタレベルの言明


  • A → B: 数理論理学を使ったオブジェクトレベルの言明


2-2. 完全性定理

TA(Tを公理としてAが証明できる)」を「TA (Tが成立するときには Aが成立する)」と同一視してよいことを保証するのが完全性定理。完全性定理が成立しない場合もあるけれど、普通の数学では成立するので、概念的に異なる ⊨ と ⊢ を同一視しても、変なことにはならない。(注:ゲーデルの不完全性定理とはまた別の話)

以上2-1.2-2 より、以下は通常同一視して構わない:



  • Aを仮定するならばBが証明できる


  • Aが成立するならばBが成立する


  • A→Bが証明できる


  • A→Bが成立する


2-3. 対偶証明

対偶証明と呼ばれる論法は、前述の演繹定理を使って正当化できる。つまり、「AならばBが成立する」は「A→Bが成立する」と言い換えてよい。あとは真理値表を使うと、「¬B→¬Aが成立する」と言い換えてよく、これに再度演繹定理を使えば「¬Bならば¬Aが成立する」と同一視できる。


2-4. 可証性述語

既にみたように、「AならばB」というメタな文は A→B というオブジェクトレベルの文に変換できる。では同様に「Tを仮定するならばAは証明可能」というメタな文での ならば=「 ⊢ 」はオブジェクトレベルに落とし込めるのだろうか?

答えはできる場合とできない場合がある。ペアノ算術や集合論では可能。可証性述語Prとよばれ。不完全性定理への第一歩。

可証性述語を使うと、演繹定理を形式化できる(論理式として書ける)。つまり、形式化された演繹定理は PrA("B") ↔ Pr("A→B") ここで PrA は 議論の土台となっている理論にAを定理として組み込んだ理論における可証性述語であり、 クォーテーション"で囲まれた表現は、クォートされた論理式のゲーデル数を表す数である。


3. 参考文献とまとめ

菊池『不完全性定理』の2章と9章において、の真理値表が納得がいきにくい理由を論じていたり、を定理に ⊢ を証明を対応付けて考察しており、大いに刺激を受けた。また標準的な論理学の教科書でも、ここに記載されていることがある程度考察されている。例えば野矢『論理学』。

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